Calcule os pontos \left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right), sendo que x_{0} é o ponto crítico da função e construa o gráfico:
f(x)=2 x^{3}+3 x^{2}+1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos \bigl(x_{0},f(x_{0})\bigr) em que x_{0} é ponto crítico de
f(x)=2x^{3}+3x^{2}+1
e, em seguida, esboçar o gráfico dessa função. Vamos usar cálculo de derivadas para localizar os extremos e depois descrever a forma geral do polinômio cúbico.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira para achar onde f'(x)=0:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2x^{3}+3x^{2}+1\bigr) =6x^{2}+6x.

Passo 3

Resolvendo f'(x)=0 obtemos
6x^{2}+6x=0 \quad\Longrightarrow\quad 6x(x+1)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0\quad\text{ou}\quad x=-1.

Passo 4

Para cada ponto crítico x_{0} calculamos f(x_{0}):
f(-1)=2(-1)^{3}+3(-1)^{2}+1=-2+3+1=2,
f(0)=2\cdot0^{3}+3\cdot0^{2}+1=1.
Logo os pontos críticos são (-1,2) e (0,1).

Passo 5

Usamos a derivada segunda para classificar cada extremo:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(6x^{2}+6x\bigr)=12x+6.
Em x=-1 temos
f''(-1)=12(-1)+6=-6<0
logo (-1,2) é ponto de máximo local.
Em x=0 temos
f''(0)=6>0
logo (0,1) é ponto de mínimo local.

Passo 6

Para o esboço do gráfico note que é um polinômio de grau 3 com coeficiente líder positivo, então
  • f(x)\to -\infty quando x\to -\infty,
  • f(x)\to +\infty quando x\to +\infty.
Entre esses extremos, a curva decresce até (-1,2), depois cresce de (-1,2) até (0,1), e cresce novamente para +\infty. Marcamos no plano os pontos (-1,2) (máximo) e (0,1) (mínimo) e ligamos as três regiões de forma suave, obtendo o esboço característico de um cúbico com um vale em (0,1) e um topo em (-1,2).

Resposta

Os pontos críticos são (-1,2) (máximo local) e (0,1) (mínimo local). O gráfico é um polinômio cúbico que decrece até (-1,2), cresce até (0,1) e depois cresce indefinidamente, com comportamento f(x)\to-\infty para x\to-\infty e f(x)\to+\infty para x\to+\infty.

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