Calcule os pontos
, sendo que
é o ponto crítico da função e construa o gráfico:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos
em que
é ponto crítico de
e, em seguida, esboçar o gráfico dessa função. Vamos usar cálculo de derivadas para localizar os extremos e depois descrever a forma geral do polinômio cúbico.
Passo 2
Calculamos a derivada primeira para achar onde
:
Passo 3
Resolvendo
obtemos
Passo 4
Para cada ponto crítico
calculamos
:
Logo os pontos críticos são
e
.
Passo 5
Usamos a derivada segunda para classificar cada extremo:
Em
temos
logo
é ponto de máximo local.
Em temos
Em
logo
é ponto de mínimo local.
Passo 6
Para o esboço do gráfico note que é um polinômio de grau 3 com coeficiente líder positivo, então
-
quando , -
quando .
Entre esses extremos, a curva decresce até
, depois cresce de
até
, e cresce novamente para
. Marcamos no plano os pontos
(máximo) e
(mínimo) e ligamos as três regiões de forma suave, obtendo o esboço característico de um cúbico com um vale em
e um topo em
.
Resposta
Os pontos críticos são
(máximo local) e
(mínimo local). O gráfico é um polinômio cúbico que decrece até
, cresce até
e depois cresce indefinidamente, com comportamento
para
e
para
.