Use a regra da cadeira para determinar d z / d t ou d w / d t :
z=x^{2} y+x y^{2}, x=2+t^{2}, y=1-t^{3}

Passo 1

O enunciado define a função de duas variáveis
z = x^{2}y + x y^{2}
e dá as parametrizações
x = 2 + t^{2}, \quad y = 1 - t^{3}.
O conteúdo é a regra da cadeia para derivadas de funções compostas e queremos calcular \dfrac{dz}{dt}.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de z em relação a x e a y.
Usando as regras de derivação de soma e potência:
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y + x y^{2}\bigr) = 2x\,y + y^{2},
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y + x y^{2}\bigr) = x^{2} + 2x\,y.

Passo 3

Em seguida, derivamos x e y em relação a t:
\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(2 + t^{2}\bigr) = 2t,
\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(1 - t^{3}\bigr) = -3t^{2}.

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia para funções de duas variáveis:
\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.
Substituindo os valores de \partial z/\partial x, \partial z/\partial y, dx/dt e dy/dt:
\frac{dz}{dt} = \bigl(2x\,y + y^{2}\bigr)(2t) + \bigl(x^{2} + 2x\,y\bigr)(-3t^{2}).

Passo 5

Por fim, substituímos x = 2 + t^{2} e y = 1 - t^{3} e simplificamos termos semelhantes. O resultado é
\frac{dz}{dt} =10t - 24t^{2} +4t^{3} -30t^{4} +12t^{5} -7t^{6} +8t^{7}.

Resposta

\frac{dz}{dt} = 10t - 24t^{2} +4t^{3} -30t^{4} +12t^{5} -7t^{6} +8t^{7}.

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