Calcule, se possível, as integrais impróprias:
integral1^infty x+1x^2+2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral1^inftyx+1x^2+2x,dx.
O conteúdo envolve integração imprópria e decomposição em frações parciais para integrar o integrando.

Passo 2

Note que
x+1x^2+2x=x+1x(x+2),
e que a zona de potencial divergência está em xtoinfty. Para resolver, primeiro fazemos frações parciais.

Passo 3

Assumimos
x+1x(x+2)=Ax+Bx+2
Multiplicando por x(x+2)
x+1 = A(x+2)+Bx = (A+B)x + 2A
Comparando coeficientes em x e termo constante:
A + B = 1, 2A = 1 Longrightarrow A = tfrac12,;B = tfrac12

Passo 4

Para R>1,
integral1^Rx+1x(x+2),dx =12integral1^Rdxx ;+;12integral1^Rdxx+2 =12l[ln xr]1^R +12l[ln(x+2)r]1^R
=12l(ln R - ln1 + ln(R+2) - ln3r) =12l(ln R + ln(R+2) - ln3r)

Passo 5

Agora examinamos o limite quando Rtoinfty:
limRtoinfty12l(ln R + ln(R+2) - ln3r) =limRtoinftyl(ln R - tfrac12ln3 + o(1)r) =+infty
Como o resultado vai a +infty, a integral não converge.

Resposta

A integral diverge (não existe valor finito).

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