Calcule, se possível, as integrais impróprias:
integrale^infty 1x(ln x)^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integrale^infty1x(ln x)^3,dx
O conteúdo aqui é integração por substituição e avaliação de limite em integrais impróprias. Vamos usar a mudança de variável t=ln x, pois isso simplifica o fator x(ln x)^3.

Passo 2

Identificamos que a integral é imprópria por causa do limite superior infinito. Precisamos verificar se a área sob a curva 1x(ln x)^3 converge quando xtoinfty.

Passo 3

Fazendo a substituição
t = ln x, dt = dxx,
os limites mudam de x=e (onde t=1) até xtoinfty (onde ttoinfty). Assim
integrale^infty1x(ln x)^3,dx = integral1^inftyt^-3,dt

Passo 4

Agora integramos em t:
integral t^-3,dt = integral t^-3,dt = t^-2-2 = -12t^2
Portanto a integral definida fica
[-12t^2]1^infty

Passo 5

Calculamos o limite no infinito:
limTtoinfty(-12T^2)=0,
e no ponto t=1 temos -tfrac12cdot1^2=-tfrac12. Logo
integral1^inftyt^-3,dt = 0 - l(-tfrac12r) = tfrac12

Resposta

12

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