Calcule, se possível, as integrais impróprias:
integral-2^14 1raiz[4]x+2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral-2^14 1raiz[4]x+2,dx
Aqui o problema é que em x=-2 o integrando fica infinito, pois raiz[4]x+2=0. Vamos, portanto, tratar isso como uma integral imprópria e usar definição via limite.

Passo 2

Reescrevemos a integral como limite, aproximando o extremo singular por valores à direita de -2. Definimos
I = integral-2^14 1raiz[4]x+2,dx = limvarepsilonto0^+ integral-2+varepsilon^14 (x+2)^-tfrac14,dx

Passo 3

Para calcular integral (x+2)^-tfrac14,dx, usamos a regra integral u^p,du = u^p+1/(p+1) (para pneq -1), com u = x+2 e p=-tfrac14. Assim,
integral (x+2)^-tfrac14,dx = (x+2)^-tfrac14 + 1-tfrac14 + 1 = (x+2)^tfrac34tfrac34 = 43,(x+2)^tfrac34

Passo 4

Usando essa primitiva no intervalo de -2+varepsilon a 14, obtemos
integral-2+varepsilon^14 (x+2)^-tfrac14,dx = 43,(x+2)^tfrac34|x=-2+varepsilon^x=14 = 43l((14+2)^tfrac34 - (varepsilon)^tfrac34r)
Note que 14+2=16 e 16^tfrac34=(2^4)^tfrac34=2^3=8, logo
integral-2+varepsilon^14 (x+2)^-tfrac14,dx = 43l(8 - varepsilon^tfrac34r)

Passo 5

Agora fazemos varepsilonto0^+. Como varepsilon^tfrac34to0, o limite converge:
I = limvarepsilonto0^+ 43l(8 - varepsilon^tfrac34r) = 43cdot 8 = 323

Resposta

323

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