Faça o gráfico da curva alpha(t)=(x(t), y(t)), em que x(t) e y(t) são dados por
x(t)=cl 1+cos (pi t), & se 0 <= t<1 -1-cos (pi t), & se 1 <= t<2 2 t-6, & se 2 <= t <= 4 e y(t)=cl sen(pi t), & se 0 <= t<1 -sen(pi t), & se 1 <= t<2 4-2 t, & se 2 <= t<3 2 t-8, & se 3 <= t <= 4

Passo 1

O enunciado define a curva paramétrica alpha(t)=(x(t),y(t)) em três pedaços de tin[0,4]. Para esboçar o gráfico, vamos reconhecer a geometria de cada ramo: dois semicírculos de raio 1 centrados em (1,0) e em (-1,0), todos com y>=0, e depois um “V” formado por dois segmentos de reta que ligam (-2,0) a (0,-2) e deste ponto a (2,0).

Passo 2

Para 0<= t<1 temos
x(t)=1+cos(pi t), y(t)=sin(pi t)
Fazendo u=pi tin[0,pi], isso é a parametrização do semicírculo superior de raio 1 e centro em (1,0). Em particular os extremos são
t=0colon;(x,y)=(2,0), t=1colon;(x,y)=(0,0),
e o ponto médio t=0,5 é (1,1).

Passo 3

Para 1<= t<2 temos
x(t)=-1-cos(pi t), y(t)=-sin(pi t)
Novamente com u=pi tin[pi,2pi] reconstrói-se o semicírculo superior de raio 1 e centro em (-1,0), ligando
t=1colon;(x,y)=(0,0) a t=2colon;(x,y)=(-2,0),
e passando pelo ponto (-1,1) em t=1,5.

Passo 4

Para 2<= t<=4 o x é linear:
x(t)=2t-6, -2<= x<=2
O y é dado por dois trechos lineares:
  • Se 2<= t<3, então y(t)=4-2t, ligando (-2,0) a (0,-2).
  • Se 3<= t<=4, então y(t)=2t-8, ligando (0,-2) a (2,0).

Passo 5

Unindo tudo, a curva é contínua e forma:
1. Semicírculo superior de centro (1,0) de (2,0) a (0,0).
2. Semicírculo superior de centro (-1,0) de (0,0) a (-2,0).
3. Segmento de reta de (-2,0) a (0,-2).
4. Segmento de reta de (0,-2) a (2,0).

Resposta

Esboço qualitativo do gráfico (pontos marcantes: , , , , , ):
      y
  \(1\)   |       \(\bullet\bullet\)
      |      / \ / 
  \(0\bullet\)---\(\bullet\)----\(\bullet\)----\(\bullet\)---\(\bullet\)\rightarrow x
     -\(2\)  -\(1\)\(0\)\(1\)\(2\)
 -\(2\)   |        \(\bullet\)

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