Calcule, se possível, as integrais impróprias:
integral0^33(x-1)^-15 d x

Passo 1

O enunciado pede a integral imprópria
integral0^33(x-1)^-15,dx
Observamos que há uma singularidade em x=1, pois o integrando fica infinito aí. Para tratar, dividimos em
integral0^33(x-1)^-15,dx = limtto1^-integral0^t(x-1)^-15,dx + limsto1^+integrals^33(x-1)^-15,dx

Passo 2

Para integrar a função do tipo (x-1)^alpha com alpha=-tfrac15, usamos a fórmula
integral (x-1)^alpha,dx = (x-1)^alpha+1alpha+1 (alphaneq -1)
Aqui alpha+1=-tfrac15+1=tfrac45, logo a antiderivada é
integral (x-1)^-15,dx = (x-1)^45tfrac45 = 54,(x-1)^45

Passo 3

Calcular a parte da esquerda:
I1 = limtto1^-integral0^t(x-1)^-15,dx = limtto1^-54l[(t-1)^45-(-1)^45r]
Como limtto1^-(t-1)^45=0 e (-1)^45=1, vem
I1 = 54l[0-1r] = -54

Passo 4

Calcular a parte da direita:
I2 = limsto1^+integrals^33(x-1)^-15,dx = limsto1^+54l[(33-1)^45-(s-1)^45r]
Como limsto1^+(s-1)^45=0 e (33-1)^45=32^45=(2^5)^45=2^4=16, segue
I2 = 54l[16-0r] = 20

Passo 5

Verificamos que ambas as partes convergem (porque -tfrac15>-1) e somamos
integral0^33(x-1)^-15,dx = I1+I2 = -54+20 = 754

Resposta

754

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