Calcule, se possível, as integrais impróprias:
integral0^3 d xx^2-6 x+5

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral0^3dxx^2-6x+5
Este é um caso de integral de função racional que pode ter pontos em que o denominador se anula dentro do intervalo de integração, gerando descontinuidade e possível divergência.

Passo 2

Identificamos as raízes do denominador
x^2-6x+5=(x-1)(x-5),
logo há singularidades em x=1 e x=5. Como o intervalo de integração é de 0 a 3, a descontinuidade relevante ocorre em x=1. Para tratar isso, dividimos a integral em
integral0^3dx(x-1)(x-5) =integral0^1dx(x-1)(x-5)+integral1^3dx(x-1)(x-5)
e avaliamos cada parte como limite.

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais:
1(x-1)(x-5) =Ax-1+Bx-5
Multiplicando por (x-1)(x-5) e igualando coeficientes ou avaliando em x=1 e x=5, obtemos
A=-14, B=14
Logo
1(x-1)(x-5) =-141x-1+141x-5

Passo 4

Integramos cada termo separadamente para encontrar a antiderivada F(x):
F(x) =integraldx(x-1)(x-5) =-14lnl|x-1r|+14lnl|x-5r| =14lnl|x-5x-1r|

Passo 5

Agora avaliamos as duas integrais impróprias como limites:
Para I1=integral0^1cdots,
I1 =limvarepsilonto0^+l[F(1-varepsilon)-F(0)r] =limvarepsilonto0^+14ln(1-varepsilon)-5(1-varepsilon)-1 -14ln0-50-1 =limvarepsilonto0^+14ln-(4+varepsilon)-varepsilon+const
O argumento do logaritmo tende a tfrac4+varepsilonvarepsilonto+infty, então I1=+infty.

Passo 6

Como a primeira parte já diverge para +infty, não faz sentido continuar: a integral imprópria total não converge a um valor finito.

Resposta

A integral
integral0^3dxx^2-6x+5
é divergente (não converge a número finito).

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