Calcule, se possível as inversas das seguintes matrizes:
\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\\\ -1 & 1 & 0 \\\\ 2 & -3 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz quadrada de ordem 3 e pede a sua inversa, se existir. A matriz é
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\[4pt] -1 & 1 & 0\\[4pt] 2 & -3 & 1 \end{pmatrix}.
O que se pede: calcular A^{-1} (ou dizer que não existe, se A não for invertível).]

Passo 2

Primeira ideia prática: verificar se A é invertível calculando o determinante \det(A). Se \det(A)\neq0, então A é invertível e
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a adjunta (matriz das cofatores transposta). Vou calcular \det(A) usando a fórmula para determinante de 3\times3:
\det(A)=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}),
aqui a_{ij} são os elementos de A. Substituindo:
\begin{aligned} a_{11}&=1,\quad a_{12}=-1,\quad a_{13}=2,\\\ a_{21}&=-1,\quad a_{22}=1,\quad a_{23}=0,\\\ a_{31}&=2,\quad a_{32}=-3,\quad a_{33}=1. \end{aligned}
Calculemos os determinantes dos menores que aparecem:
\begin{aligned} a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}&=1\cdot1-0\cdot(-3)=1,\\[4pt] a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}&=(-1)\cdot1-0\cdot2=-1,\\[4pt] a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}&=(-1)\cdot(-3)-1\cdot2=3-2=1. \end{aligned}
Agora a soma:
\det(A)=1\cdot1-(-1)\cdot(-1)+2\cdot1=1-1+2=2.
Como \det(A)=2\neq0, a inversa existe.]

Passo 3

Agora preciso obter \operatorname{adj}(A). Para isso calculo todos os menores M_{ij} (determinante da matriz que sobra ao eliminar linha i e coluna j) e depois os cofatores C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}. Vou listar os M_{ij} e os C_{ij}.
Calculemos os menores:
\begin{aligned} M_{11}&=\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]-3 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-0\cdot(-3)=1,\\[6pt] M_{12}&=\det\begin{pmatrix}-1 & 0\\[2pt]2 & 1\end{pmatrix}=(-1)\cdot1-0\cdot2=-1,\\[6pt] M_{13}&=\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[2pt]2 & -3\end{pmatrix}=(-1)(-3)-1\cdot2=3-2=1,\\[6pt] M_{21}&=\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\[2pt]-3 & 1\end{pmatrix}=(-1)\cdot1-2\cdot(-3)=-1+6=5,\\[6pt] M_{22}&=\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[2pt]2 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-2\cdot2=1-4=-3,\\[6pt] M_{23}&=\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[2pt]2 & -3\end{pmatrix}=1\cdot(-3)-(-1)\cdot2=-3+2=-1,\\[6pt] M_{31}&=\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\[2pt]1 & 0\end{pmatrix}=(-1)\cdot0-2\cdot1=-2,\\[6pt] M_{32}&=\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[2pt]-1 & 0\end{pmatrix}=1\cdot0-2\cdot(-1)=2,\\[6pt] M_{33}&=\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[2pt]-1 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-(-1)\cdot(-1)=1-1=0. \end{aligned}
Agora os cofatores C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}:
\begin{aligned} C_{11}&=+M_{11}=1, & C_{12}&=-M_{12}=1, & C_{13}&=+M_{13}=1,\\[4pt] C_{21}&=-M_{21}=-5, & C_{22}&=+M_{22}=-3, & C_{23}&=-M_{23}=1,\\[4pt] C_{31}&=+M_{31}=-2, & C_{32}&=-M_{32}=-2, & C_{33}&=+M_{33}=0. \end{aligned}
A matriz dos cofatores fica
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] -5 & -3 & 1\\[4pt] -2 & -2 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 4

A adjunta (adjugate) \operatorname{adj}(A) é a transposta da matriz dos cofatores. Assim
\operatorname{adj}(A)= \begin{pmatrix} 1 & -5 & -2\\[4pt] 1 & -3 & -2\\[4pt] 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
A fórmula da inversa é, de novo,
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A).
Como \det(A)=2, temos formalmente A^{-1}=\tfrac{1}{2}\operatorname{adj}(A).
Uma verificação elegante e geral: para qualquer matriz quadrada vale A\operatorname{adj}(A)=\det(A)\,I. Assim, multiplicando A por \operatorname{adj}(A) obter-se-á 2I; dividindo por 2 (ou seja, multiplicando por \tfrac{1}{2}) obtém-se I, confirmando que \tfrac{1}{2}\operatorname{adj}(A) é de fato a inversa. Isso evita cálculos repetitivos e é uma maneira teórica de checar o resultado.]

Passo 5

Para concluir, aplicar a fórmula e escrever a inversa explicitamente: multiplicando \operatorname{adj}(A) por \tfrac{1}{2} obtém-se a matriz inversa com entradas em frações simples. (A multiplicação escalar é feita entrada a entrada: cada elemento de \operatorname{adj}(A) é dividido por 2.)

Resposta

A^{-1}= \begin{pmatrix} \tfrac{1}{2} & -\tfrac{5}{2} & -1\\[6pt] \tfrac{1}{2} & -\tfrac{3}{2} & -1\\[6pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}]

Exercícios relacionados