Determine os pontos críticos de f(x, y)=x^{2}+y^{2}-6 x-4 y+2 e classifique-os.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}+y^{2}-6x-4y+2 e pede duas coisas: (1) determinar os pontos críticos de f e (2) classificar cada ponto crítico (mínimo, máximo ou sela). Informações relevantes fornecidas:
  • A função é um polinômio quadrático em (x,y).
  • Não há restrições no domínio, logo o domínio é todo \mathbb{R}^{2}.

Passo 2

O que é um ponto crítico? Um ponto (x,y) é crítico se o gradiente de f ali for o vetor nulo ou se as derivadas parciais não existirem. Aqui as derivadas existem em todo \mathbb{R}^{2}, então procuramos os pontos onde o gradiente é zero.
O gradiente de f é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)\\[6pt]\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)\end{pmatrix}.
Explico: \dfrac{\partial f}{\partial x} é a taxa de variação de f quando só x varia e y é fixo; análogo para \dfrac{\partial f}{\partial y}.]

Passo 3

Calcule as derivadas parciais explicitamente.
Derivando em relação a x:
\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x-6,
pois a derivada de x^{2} é 2x, de -6x é -6 e os termos que não dependem de x têm derivada zero.
Derivando em relação a y:
\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2y-4,
pois a derivada de y^{2} é 2y e de -4y é -4.
Para pontos críticos igualamos o gradiente a zero:
\begin{cases} 2x-6=0,\\[4pt] 2y-4=0. \end{cases}]

Passo 4

Resolva o sistema para encontrar as coordenadas do ponto crítico.
Da primeira equação 2x-6=0 segue
2x=6\quad\Rightarrow\quad x=3.
Da segunda 2y-4=0 segue
2y=4\quad\Rightarrow\quad y=2.
Logo há um único ponto crítico: (x,y)=(3,2).

Passo 5

Agora vamos classificar esse ponto crítico. Vou usar o teste das segundas derivadas (Hessiana) para funções de duas variáveis.
Definição e ideia: a matriz Hessiana H reúne as segundas derivadas parciais:
H(x,y)=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} & \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}\\[6pt] \dfrac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x} & \dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} \end{pmatrix}.
Interpretação prática (teste comum): se em um ponto crítico H for definida positiva, então f tem mínimo local ali; se H for definida negativa, máximo local; se H for indefinida, o ponto é uma sela; se for semidefinida, o teste pode ser inconclusivo.
Calcule as segundas derivadas:
\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=2,\qquad \dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=2,\qquad \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=0.
Portanto a Hessiana é a matriz constante
H=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 6

Classificação a partir da Hessiana.
Para matrizes 2\times2 uma verificação simples: calcule o determinante D=\det H e observe f_{xx} (o elemento \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}).
Aqui
D=\det\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}=2\cdot 2-0\cdot 0=4>0,
e também \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=2>0. Pelo teste das segundas derivadas, se D>0 e f_{xx}>0 então H é definida positiva e o ponto crítico é um mínimo local.
Além disso, como f é uma função quadrática com Hessiana positiva definida constante, esse mínimo local é também mínimo global (a função cresce sem limite quando \|(x,y)\|\to\infty).]

Passo 7

Como verificação adicional e para obter o valor mínimo, faça completar o quadrado — é uma forma prática e simples para quadráticas.
Reescrevendo f:
f(x,y)=\bigl(x^{2}-6x\bigr)+\bigl(y^{2}-4y\bigr)+2.
Complete quadrados:
x^{2}-6x=(x-3)^{2}-9, \qquad y^{2}-4y=(y-2)^{2}-4.
Substituindo:
f(x,y)=(x-3)^{2}+(y-2)^{2}-9-4+2=(x-3)^{2}+(y-2)^{2}-11.
Dessa forma fica claro que o menor valor ocorre quando (x-3)^{2}=(y-2)^{2}=0, ou seja em (x,y)=(3,2), e o valor mínimo é -11.

Resposta

Ponto crítico: (3,2).
Classificação: mínimo (global) de valor f(3,2)=-11.

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