Determine os pontos críticos de f(x, y)=x^{2}+y^{2}-6 x-4 y+2 e classifique-os.
Passo 1
O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}+y^{2}-6x-4y+2 e pede duas coisas: (1) determinar os pontos críticos de f e (2) classificar cada ponto crítico (mínimo, máximo ou sela). Informações relevantes fornecidas:
A função é um polinômio quadrático em (x,y).
Não há restrições no domínio, logo o domínio é todo \mathbb{R}^{2}.
Passo 2
O que é um ponto crítico? Um ponto (x,y) é crítico se o gradiente de f ali for o vetor nulo ou se as derivadas parciais não existirem. Aqui as derivadas existem em todo \mathbb{R}^{2}, então procuramos os pontos onde o gradiente é zero.
O gradiente de f é o vetor das derivadas parciais:
Interpretação prática (teste comum): se em um ponto crítico H for definida positiva, então f tem mínimo local ali; se H for definida negativa, máximo local; se H for indefinida, o ponto é uma sela; se for semidefinida, o teste pode ser inconclusivo.
e também \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=2>0. Pelo teste das segundas derivadas, se D>0 e f_{xx}>0 então H é definida positiva e o ponto crítico é um mínimo local.
Além disso, como f é uma função quadrática com Hessiana positiva definida constante, esse mínimo local é também mínimo global (a função cresce sem limite quando \|(x,y)\|\to\infty).]
Passo 7
Como verificação adicional e para obter o valor mínimo, faça completar o quadrado — é uma forma prática e simples para quadráticas.