Calcule, se possível, os seguintes limites:

Passo 1

O exercício pede para calcular limxto -inftyl(1+tfrac1xr)^x+5. O conteúdo é limite de forma exponencial e vamos usar o limite fundamental que gera e e as propriedades de limite de produto.

Passo 2

Reescrevemos a expressão separando o expoente:
l(1+tfrac1xr)^x+5=l(1+tfrac1xr)^xcdotl(1+tfrac1xr)^5
Isso facilita pois podemos avaliar cada fator separadamente.

Passo 3

Para o primeiro fator, fazemos a troca de variável t=-x, então tto+infty quando xto-infty. Temos
l(1+tfrac1xr)^x=l(1-tfrac1tr)^-t=l[l(1-tfrac1tr)^tr]^-1
E sabemos que
limttoinftyl(1-tfrac1tr)^t=e^-1
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limxto-inftyl(1+tfrac1xr)^x=l(e^-1r)^-1=e.

Passo 4

O segundo fator é mais simples, pois 1+tfrac1xto1 quando xto-infty. Então
limxto-inftyl(1+tfrac1xr)^5=1^5=1

Passo 5

Usando que o limite do produto é o produto dos limites (quando ambos existem finitos), concluímos:
limxto -inftyl(1+tfrac1xr)^x+5=l(limxto -inftyl(1+tfrac1xr)^xr)cdotl(limxto -inftyl(1+tfrac1xr)^5r)=ecdot1=e

Resposta

e

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