Determine a solução geral da equação sabendo que uma solução particular é .
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação
sabendo que uma solução particular é .
O conteúdo aqui é EDO linear de segunda ordem com coeficientes variáveis, e vamos usar o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução .
Passo 2
Colocamos a equação na forma padrão
dividindo por :
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Passo 3
Pela redução de ordem, uma segunda solução é
Como
temos
expl(-integral p,dxr) = 11 - x^2
Então o integral que aparece é
integral 1/(1-x^2)x^2,dx = integral 1x^2(1 - x^2),dx
Passo 4
Calculamos
1x^2(1 - x^2) = 1x^2 + 1/21 - x + 1/21 + x
por frações parciais. Assim
integral 1x^2(1 - x^2),dx = integral x^-2,dx + tfrac12integral11 - x,dx + tfrac12integral11 + x,dx