Determine a solução geral da equação (1-x^2) y^prime prime-2 x y^prime+2 y=0 sabendo que uma solução particular é y1(x)=x.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
(1 - x^2),y'' - 2x,y' + 2y = 0
sabendo que uma solução particular é y1(x)=x.
O conteúdo aqui é EDO linear de segunda ordem com coeficientes variáveis, e vamos usar o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução y2(x).

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão
y'' + p(x),y' + q(x),y = 0
dividindo por 1 - x^2:
y'' - 2x1 - x^2,y' + 21 - x^2,y = 0
Logo
p(x) = -2x1 - x^2

Passo 3

Pela redução de ordem, uma segunda solução é
y2(x) = y1(x),integral expl(-integral p(x),dxr)y1(x)^2;dx
Como
integral p(x),dx = integral l(-2x1 - x^2r),dx = lnl|1 - x^2r|,
temos
expl(-integral p,dxr) = 11 - x^2
Então o integral que aparece é
integral 1/(1-x^2)x^2,dx = integral 1x^2(1 - x^2),dx

Passo 4

Calculamos
1x^2(1 - x^2) = 1x^2 + 1/21 - x + 1/21 + x
por frações parciais. Assim
integral 1x^2(1 - x^2),dx = integral x^-2,dx + tfrac12integral11 - x,dx + tfrac12integral11 + x,dx
= -1x - tfrac12lnl|1 - xr| + tfrac12lnl|1 + xr| + C

Passo 5

Logo
y2(x) = xl(-1x + tfrac12ln1 + x1 - xr) = -1 + x2ln1 + x1 - x
Escalonando constantes, podemos escolher como segunda solução independente
y2(x) = x2ln1 + x1 - x - 1
Portanto a solução geral é
y(x) = C1,x + C2l(x2ln1 + x1 - x - 1r)

Resposta

boxedy(x) = C1,x + C2l(x2ln1 + x1 - x - 1r),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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