Questão 02 ( 7 pontos): Considere um aquário com capacidade de 50 Lque está inicialmente cheio com uma água sem nutrientes. Uma mangueira é acoplada e água contendo nutrientes entra no aquário a uma taxa de 5 litros por hora. A água é então misturada e sai do aquário por outra mangueira com a mesma taxa. A concentração
de nutrientes na água que entra varia de acordo com o tempo
(em horas) segundo a expressão
gramas por litro. Considere
a quantidade, em gramas, de nutrientes no aquário no tempo
, em horas.
a) (3 pontos) Encontre a fórmula que determine a taxa
de variação nutrientes no aquário (em função da quantidade de nutrientes
).
b) (4 pontos) Determine a expressão
de nutrientes no aquário em qualquer instante.
a) (3 pontos) Encontre a fórmula que determine a taxa
b) (4 pontos) Determine a expressão
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um aquário de 50 litros que inicialmente não tem nutrientes. Uma mangueira está ligando água com nutrientes entrando no aquário a 5 litros por hora, e a água sai também na mesma taxa. A concentração de nutrientes na água que entra, chamada
, muda com o tempo e é dada por
gramas por litro. Queremos descobrir:
a) A fórmula que determina a taxa de variação dos nutrientes no aquário, ou seja,
em função de
.
b) A expressão de
, que é a quantidade de nutrientes no aquário em qualquer instante
.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de taxas de variação e equações diferenciais, que nos ajudam a modelar como algo muda ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a fórmula para
, a taxa de variação dos nutrientes no aquário.
A taxa de variação dos nutrientes no aquário depende de duas coisas:
-
Entrada de nutrientes: Água com nutrientes está entrando no aquário. A quantidade de nutrientes que entra por hora é a taxa de fluxo (5 litros/hora) multiplicada pela concentração de nutrientes na água que entra, ou seja,
. -
Saída de nutrientes: A água sai do aquário na mesma taxa (5 litros/hora), mas agora a concentração de nutrientes na água que sai depende da quantidade de nutrientes no aquário no momento. A concentração na saída é
, já que o aquário tem 50 litros. Então, a quantidade de nutrientes que sai por hora é .
A taxa de variação dos nutrientes no aquário é a diferença entre a entrada e a saída:
Simplificando a segunda parte:
Então, a fórmula fica:
Passo 3
Agora, vamos determinar a expressão para
, a quantidade de nutrientes no aquário em qualquer instante.
Temos uma equação diferencial:
Sabemos que
. Substituindo na equação:
Vamos reorganizar:
Essa é uma equação diferencial linear que pode ser resolvida usando o fator integrante.
O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação por
:
Simplificando o lado direito:
Assim, a equação fica:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Calculando as integrais:
Portanto:
Dividindo ambos os lados por
:
Para encontrar a constante
, consideramos a condição inicial. No tempo
, o aquário não tem nutrientes, então
:
Substituindo
na expressão de
:
Resposta
a) A taxa de variação dos nutrientes no aquário é
.
b) A quantidade de nutrientes no aquário em qualquer instante
é