Questão 02 ( 7 pontos): Considere um aquário com capacidade de 50 Lque está inicialmente cheio com uma água sem nutrientes. Uma mangueira é acoplada e água contendo nutrientes entra no aquário a uma taxa de 5 litros por hora. A água é então misturada e sai do aquário por outra mangueira com a mesma taxa. A concentração rhoe(t) de nutrientes na água que entra varia de acordo com o tempo t (em horas) segundo a expressão rhoe(t)=2+e^-t10 gramas por litro. Considere Q(t) a quantidade, em gramas, de nutrientes no aquário no tempo t, em horas.
C AP
d Ed t
d sd t
a) (3 pontos) Encontre a fórmula que determine a taxa d Qd t de variação nutrientes no aquário (em função da quantidade de nutrientes Q(t) ).
b) (4 pontos) Determine a expressão Q(t) de nutrientes no aquário em qualquer instante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um aquário de 50 litros que inicialmente não tem nutrientes. Uma mangueira está ligando água com nutrientes entrando no aquário a 5 litros por hora, e a água sai também na mesma taxa. A concentração de nutrientes na água que entra, chamada rhoe(t), muda com o tempo e é dada por rhoe(t) = 2 + e^-t10 gramas por litro. Queremos descobrir:
a) A fórmula que determina a taxa de variação dos nutrientes no aquário, ou seja, dQdt em função de Q(t).
b) A expressão de Q(t), que é a quantidade de nutrientes no aquário em qualquer instante t.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de taxas de variação e equações diferenciais, que nos ajudam a modelar como algo muda ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a fórmula para dQdt, a taxa de variação dos nutrientes no aquário.
A taxa de variação dos nutrientes no aquário depende de duas coisas:
  1. Entrada de nutrientes: Água com nutrientes está entrando no aquário. A quantidade de nutrientes que entra por hora é a taxa de fluxo (5 litros/hora) multiplicada pela concentração de nutrientes na água que entra, ou seja, 5 times rhoe(t).
  2. Saída de nutrientes: A água sai do aquário na mesma taxa (5 litros/hora), mas agora a concentração de nutrientes na água que sai depende da quantidade de nutrientes no aquário no momento. A concentração na saída é Q(t)/50, já que o aquário tem 50 litros. Então, a quantidade de nutrientes que sai por hora é 5 times Q(t)50.
A taxa de variação dos nutrientes no aquário é a diferença entre a entrada e a saída:
dQdt = Entrada - Saída = 5 rhoe(t) - 5 times Q(t)50 í
Simplificando a segunda parte:
5 times Q(t)50 = 550 Q(t) = 110 Q(t)
Então, a fórmula fica:
dQdt = 5 rhoe(t) - 110 Q(t)

Passo 3

Agora, vamos determinar a expressão para Q(t), a quantidade de nutrientes no aquário em qualquer instante.
Temos uma equação diferencial:
dQdt = 5 rhoe(t) - 110 Q(t)
Sabemos que rhoe(t) = 2 + e^-t10. Substituindo na equação:
dQdt = 5 (2 + e^-t10) - 110 Q(t)
Vamos reorganizar:
dQdt + 110 Q(t) = 10 + 5 e^-t10
Essa é uma equação diferencial linear que pode ser resolvida usando o fator integrante.
O fator integrante μ(t) é dado por:
μ(t) = e^integral 110 dt = e^t10
Multiplicamos toda a equação por μ(t):
e^t10 dQdt + 110 e^t10 Q(t) = 10 e^t10 + 5 e^t10 e^-t10
Simplificando o lado direito:
5 e^t10 e^-t10 = 5
Assim, a equação fica:
ddt ( e^t10 Q(t) ) = 10 e^t10 + 5
Integrando ambos os lados em relação a t:
e^t10 Q(t) = integral 10 e^t10 dt + integral 5 dt + C
Calculando as integrais:
integral 10 e^t10 dt = 100 e^t10 + C1
integral 5 dt = 5t + C2
Portanto:
e^t10 Q(t) = 100 e^t10 + 5t + C
Dividindo ambos os lados por e^t10:
Q(t) = 100 + 5t e^-t10 + C e^-t10
Para encontrar a constante C, consideramos a condição inicial. No tempo t=0, o aquário não tem nutrientes, então Q(0) = 0:
0 = 100 + 0 + C Rightarrow C = -100
Substituindo C na expressão de Q(t):
Q(t) = 100 + 5t e^-t10 - 100 e^-t10 = 100 (1 - e^-t10 ) + 5t e^-t10

Resposta

a) A taxa de variação dos nutrientes no aquário é dQdt = 5 rhoe(t) - 110 Q(t).
b) A quantidade de nutrientes no aquário em qualquer instante t é
Q(t) = 100 (1 - e^-t10 ) + 5t e^-t10

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