Calcule o posto da matriz usando os determinantes das submatrizes quadradas:
[lll 1 & 2 & 3 3 & 2 & 1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 ]

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular o posto da seguinte matriz usando os determinantes das submatrizes quadradas:
[lll 1 & 2 & 3 3 & 2 & 1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 ]
Conteúdo da matéria: Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com o conceito de posto de uma matriz.
O que precisamos para resolver: Vamos utilizar os determinantes das submatrizes quadradas para encontrar o posto da matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o posto de uma matriz. O posto de uma matriz é o maior número de suas colunas (ou linhas) que são linearmente independentes. Para encontrar o posto usando determinantes, buscamos a maior submatriz quadrada com determinante diferente de zero.
Neste caso, nossa matriz original é 4x3 (4 linhas e 3 colunas). O maior tamanho de submatriz quadrada que podemos formar é 3x3.

Passo 3

Vamos formar todas as possíveis submatrizes 3x3 a partir da matriz original. Como temos 4 linhas, podemos selecionar combinações de 3 linhas de cada vez. Existem binom43 = 4 submatrizes possíveis:
  1. Linhas 1, 2 e 3
  2. Linhas 1, 2 e 4
  3. Linhas 1, 3 e 4
  4. Linhas 2, 3 e 4

Passo 4

Vamos calcular o determinante de cada submatriz para verificar se é diferente de zero.
Submatriz 1 (Linhas 1, 2 e 3):
1 & 2 & 3 3 & 2 & 1 1 & 1 & 0
Calculando o determinante:
det = 1(2 cdot 0 - 1 cdot 1) - 2(3 cdot 0 - 1 cdot 1) + 3(3 cdot 1 - 2 cdot 1) det = 1(0 - 1) - 2(0 - 1) + 3(3 - 2) det = -1 + 2 + 3 det = 4 neq 0
Como o determinante é diferente de zero, já sabemos que o posto da matriz é pelo menos 3.

Passo 5

Para confirmar que o posto é realmente 3, também podemos verificar as outras submatrizes, mas como já encontramos uma submatriz 3x3 com determinante não nulo, não é necessário continuar. Não existe uma submatriz de tamanho maior neste caso, então o posto máximo possível é 3.

Resposta

O posto da matriz é 3.

Exercícios relacionados