Nos seguintes casos determine se o conjunto de vetores é um sub-espaço vetorial do espaço vetorial , dando a justificativa correta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial W = x y y x in R^4 | , x, y in R e um conjunto de vetores definido por:
Nosso objetivo é descobrir se é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos precisar lembrar das propriedades que definem um subespaço: o conjunto deve conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalares. Vamos verificar cada uma dessas propriedades passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero pertence a 0 = 0 0 0 0 . O vetor zero em 0 0 0 0 in W é:
Para estar em , devemos ter e . Substituindo:
Então, contém o vetor zero. Isso é bom!
Passo 3
Agora, vamos ver se u = x1 y1 y1 x1 e v = x2 y2 y2 x2 é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores qualquer em u + v = x1 + x2 y1 + y2 y1 + y2 x1 + x2 e somarmos, o resultado também deve estar em Quarta coordenada = x1 + x2 = Primeira coordenada .
Sejam:
Terceira coordenada = y1 + y2 = Segunda coordenada
A soma é:
Vamos ver se esse vetor está em . Precisamos que a quarta coordenada seja igual à primeira e a terceira igual à segunda. De fato:
Então, . Portanto, é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos checar se u = x y y x in W e c in R é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se multiplicamos um vetor de c cdot u = c x c y c y c x por qualquer número real Quarta coordenada = c x = Primeira coordenada , o resultado também deve estar em Terceira coordenada = c y = Segunda coordenada .
Seja:
A multiplicação por escalar é:
Vamos verificar se esse vetor está em . Novamente, a quarta coordenada é igual à primeira e a terceira igual à segunda:
Portanto, . Assim, é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalares, concluímos que é, de fato, um subespaço vetorial de .