Calcule a potência média P_{\text {med }} para:
g(t)=a \sin (\omega t).

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a potência média P_{\text{med}} de um sinal senoidal g(t)=a\sin(\omega t). Esse conteúdo faz parte de sinais periódicos e sistemas, e vamos usar a definição de potência média de uma função periódica
P_{\text{med}} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}[g(t)]^{2}\,dt
além de lembrar que o período de \sin(\omega t) é T = 2\pi/\omega.

Passo 2

Substituindo g(t) na fórmula:
P_{\text{med}} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}a^{2}\sin^{2}(\omega t)\,dt = \frac{a^{2}}{T}\int_{0}^{T}\sin^{2}(\omega t)\,dt.

Passo 3

Para resolver \displaystyle\int_{0}^{T}\sin^{2}(\omega t)\,dt, usamos a identidade
\sin^{2}(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2}.
Logo,
\int_{0}^{T}\sin^{2}(\omega t)\,dt = \int_{0}^{T}\frac{1-\cos(2\omega t)}{2}\,dt = \frac{1}{2}\int_{0}^{T}1\,dt - \frac{1}{2}\int_{0}^{T}\cos(2\omega t)\,dt.
Aqui \displaystyle\int_{0}^{T}1\,dt = T e \displaystyle\int_{0}^{T}\cos(2\omega t)\,dt = \left[\frac{\sin(2\omega t)}{2\omega}\right]_{0}^{T}=0.
Portanto,
\int_{0}^{T}\sin^{2}(\omega t)\,dt = \frac{T}{2},
e assim
P_{\text{med}} = \frac{a^{2}}{T}\,\frac{T}{2} = \frac{a^{2}}{2}.

Resposta

P_{\text{med}} = \frac{a^{2}}{2}.

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