Dê exemplo de:
(a) Uma matriz que não tem autovalor (real) (Sugestão: use o Exercício 27 na página 412).
(b) Uma matriz que tem um autovalor e năo é diagonalizável (em \mathbb{R}^{n} ).
(c) Uma matriz que tem dois autovalores e não é diagonalizável (em \mathbb{R}^{n} ).
Passo 1
O enunciado pede exemplos de matrizes em \mathbb{R}^{n} com certas propriedades de autovalores e diagonalizabilidade. Vamos usar o cálculo do polinômio característico para identificar autovalores e comparar multiplicidade algébrica e geométrica para decidir se a matriz é diagonalizável.
Passo 2
Para dar uma matriz sem autovalor real, basta escolher aquela cujo polinômio característico não tem raiz real. Por exemplo, considere
cuja solução é \lambda = \pm i, números não reais. Logo, A não tem autovalor real.]
Passo 3
Para dar uma matriz que tem um autovalor real mas não é diagonalizável, escolhemos uma matriz com único autovalor cuja multiplicidade geométrica é menor que a algébrica. Por exemplo,
que tem dimensão 1. Como a multiplicidade geométrica (1) é menor que a algébrica (2), B não é diagonalizável.]
Passo 4
Para uma matriz com dois autovalores reais e ainda não diagonalizável, basta juntar um bloco de Jordan de ordem 2 para um dos autovalores e um bloco de ordem 1 para o outro. Por exemplo em \mathbb{R}^{3}:
O polinômio característico é (\lambda - 1)^{2}(\lambda - 2), então os autovalores são \lambda=1 (algébrica 2) e \lambda=2 (algébrica 1). O espaço próprio de \lambda=1 tem dimensão 1, menor que a algébrica 2, logo C não é diagonalizável apesar de ter dois autovalores distintos.]