Dê exemplo de:
(a) Uma matriz que não tem autovalor (real) (Sugestão: use o Exercício 27 na página 412).
(b) Uma matriz que tem um autovalor e năo é diagonalizável (em \mathbb{R}^{n} ).
(c) Uma matriz que tem dois autovalores e não é diagonalizável (em \mathbb{R}^{n} ).

Passo 1

O enunciado pede exemplos de matrizes em \mathbb{R}^{n} com certas propriedades de autovalores e diagonalizabilidade. Vamos usar o cálculo do polinômio característico para identificar autovalores e comparar multiplicidade algébrica e geométrica para decidir se a matriz é diagonalizável.

Passo 2

Para dar uma matriz sem autovalor real, basta escolher aquela cujo polinômio característico não tem raiz real. Por exemplo, considere
A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[6pt] 1 & \;0 \end{pmatrix}.
O polinômio característico é
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}-\lambda & -1 \\[4pt]1 & -\lambda\end{pmatrix} = \lambda^{2} + 1 = 0,
cuja solução é \lambda = \pm i, números não reais. Logo, A não tem autovalor real.]

Passo 3

Para dar uma matriz que tem um autovalor real mas não é diagonalizável, escolhemos uma matriz com único autovalor cuja multiplicidade geométrica é menor que a algébrica. Por exemplo,
B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\[6pt] 0 & 2 \end{pmatrix}.
O polinômio característico é (\lambda - 2)^{2}, logo o único autovalor é \lambda=2 com multiplicidade algébrica 2. O espaço próprio é solução de
(B - 2I)x = \begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]0 & 0\end{pmatrix}x = 0,
que tem dimensão 1. Como a multiplicidade geométrica (1) é menor que a algébrica (2), B não é diagonalizável.]

Passo 4

Para uma matriz com dois autovalores reais e ainda não diagonalizável, basta juntar um bloco de Jordan de ordem 2 para um dos autovalores e um bloco de ordem 1 para o outro. Por exemplo em \mathbb{R}^{3}:
C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\[6pt] 0 & 1 & 0 \\[6pt] 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
O polinômio característico é (\lambda - 1)^{2}(\lambda - 2), então os autovalores são \lambda=1 (algébrica 2) e \lambda=2 (algébrica 1). O espaço próprio de \lambda=1 tem dimensão 1, menor que a algébrica 2, logo C não é diagonalizável apesar de ter dois autovalores distintos.]

Resposta

(a) \displaystyle \begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}
(b) \displaystyle \begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}
(c) \displaystyle \begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 2\end{pmatrix}]

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