Prove que o produto escalar não depende da base.
Dica: calcule o produto escalar de dois vetores explicitamente usando duas bases diferentes e compare os resultados.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, em \mathbb{R}^n, o valor do produto escalar entre dois vetores não muda se mudarmos de base ortonormal. O conteúdo aqui é uso de mudança de base via matriz ortogonal e propriedades do produto escalar ordinário.

Passo 2

Seja B=\{e_1,\dots,e_n\} uma base ortonormal e B'=\{e'_1,\dots,e'_n\} outra base ortonormal em \mathbb{R}^n. Para qualquer vetor v escrevemos suas coordenadas em cada base:
v = \sum_{i=1}^n v_i e_i, \qquad v = \sum_{j=1}^n v'_j e'_j.

Passo 3

Como ambas as bases são ortonormais, a mudança de base é dada por uma matriz ortogonal Q\in\mathbb{R}^{n\times n} tal que
e'_j = \sum_{i=1}^n Q_{ij}\,e_i,
isto é, se [v]_B e [v]_{B'} são os vetores-coluna de coordenadas de v em B e B', então
[v]_{B'} \;=\; Q^{T}\,[v]_B,
e de modo análogo [w]_{B'} = Q^{T}\,[w]_B para outro vetor w.

Passo 4

Na base B, o produto escalar é
v\cdot w \;=\;\sum_{i=1}^n v_i\,w_i \;=\; [v]_B^{T}\,[w]_B.

Passo 5

Na base B', temos
v\cdot w \;=\;\sum_{j=1}^n v'_j\,w'_j \;=\; [v]_{B'}^{T}\,[w]_{B'} \;=\;(Q^{T}[v]_B)^{T}\,(Q^{T}[w]_B).
Como (Q^{T}[v]_B)^{T} = [v]_B^{T}\,Q e Q é ortogonal (logo Q\,Q^{T}=I), resulta
[v]_B^{T}\,Q\,Q^{T}\,[w]_B \;=\; [v]_B^{T}\,[w]_B \;=\; \sum_{i=1}^n v_i\,w_i.

Resposta

Mostramos que o produto escalar calculado em B e em B' coincide, pois a matriz de mudança de base é ortogonal e satisfaz Q\,Q^{T}=I. Logo, o produto escalar não depende da base escolhida.

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