Prove que o produto escalar não depende da base.
Dica: calcule o produto escalar de dois vetores explicitamente usando duas bases diferentes e compare os resultados.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, em
, o valor do produto escalar entre dois vetores não muda se mudarmos de base ortonormal. O conteúdo aqui é uso de mudança de base via matriz ortogonal e propriedades do produto escalar ordinário.
Passo 2
Seja
uma base ortonormal e
outra base ortonormal em
. Para qualquer vetor
escrevemos suas coordenadas em cada base:
Passo 3
Como ambas as bases são ortonormais, a mudança de base é dada por uma matriz ortogonal
tal que
isto é, se
e
são os vetores-coluna de coordenadas de
em
e
, então
e de modo análogo
para outro vetor
.
Passo 4
Na base
, o produto escalar é
Passo 5
Na base
, temos
Como
e
é ortogonal (logo
), resulta
Resposta
Mostramos que o produto escalar calculado em
e em
coincide, pois a matriz de mudança de base é ortogonal e satisfaz
. Logo, o produto escalar não depende da base escolhida.