Mostre que para qualquer sinal g(t), a função g_{p}(t)=\frac{1}{2}(g(t)+g(-t)) é par e a função g_{p}(t)=\frac{1}{2}(g(t)-g(-t)) é ímpar.

Passo 1

O enunciado diz que, para qualquer sinal g(t), definimos duas funções:
g_{p}(t)=\frac12\bigl(g(t)+g(-t)\bigr) \quad\text{e}\quad g_{i}(t)=\frac12\bigl(g(t)-g(-t)\bigr).
Queremos mostrar que g_{p}(t) é par e que g_{i}(t) é ímpar.
Lembrando que, por definição, uma função h(t) é par se
h(-t)=h(t)
e é ímpar se
h(-t)=-\,h(t).

Passo 2

Mostrando que g_{p}(t) é par.
Calculemos g_{p}(-t):
g_{p}(-t) =\frac12\bigl(g(-t)+g(-(-t))\bigr) =\frac12\bigl(g(-t)+g(t)\bigr).
Como a soma é comutativa, temos
g_{p}(-t) =\frac12\bigl(g(t)+g(-t)\bigr) =g_{p}(t).
Logo, g_{p}(t) satisfaz g_{p}(-t)=g_{p}(t) e é, portanto, uma função par.

Passo 3

Mostrando que g_{i}(t) é ímpar.
Calculemos g_{i}(-t):
g_{i}(-t) =\frac12\bigl(g(-t)-g(-(-t))\bigr) =\frac12\bigl(g(-t)-g(t)\bigr) =-\frac12\bigl(g(t)-g(-t)\bigr).
Reconhecemos o que está no parêntese:
-\frac12\bigl(g(t)-g(-t)\bigr) =-\,g_{i}(t).
Logo, g_{i}(-t)=-\,g_{i}(t) e g_{i}(t) é uma função ímpar.

Resposta

Ficou provado que
(a) g_{p}(t)=\tfrac12\bigl(g(t)+g(-t)\bigr) é par;
(b) g_{i}(t)=\tfrac12\bigl(g(t)-g(-t)\bigr) é ímpar.

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