calcule a potência do numero complexo (3 raiz35+i 35)^21

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão é sobre calcular a potência do número complexo (3 raiz35 + i 35)^21. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos, especificamente a forma polar e o Teorema de De Moivre. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o número complexo que temos: 3 raiz35 + i 35. Números complexos podem ser representados na forma retangular (a + bi) ou na forma polar (R cis θ), onde R é o módulo e theta é o argumento.

Passo 3

Vamos encontrar o módulo R do número complexo. O módulo é calculado pela fórmula:
R = raiza^2 + b^2
Neste caso, a = 3 raiz35 e b = 35.

Passo 4

Calculando R:
R = raiz(3 raiz35)^2 + (35)^2 = raiz2725 + 925 = raiz3625 = 65

Passo 5

Agora, vamos encontrar o argumento theta, que é o ângulo formado com o eixo real. Usamos a fórmula:
theta = arctan(ba)
Então,
theta = arctan(353 raiz35) = arctan(1raiz3) = 30^circ ou pi6 radianos

Passo 6

Agora que temos e , podemos reescrever o número complexo na forma polar:

Passo 7

Para calcular a potência de um número complexo na forma polar, usamos o Teorema de De Moivre:
Aqui, .

Passo 8

Aplicando o Teorema de De Moivre:
Simplificando o ângulo:

Passo 9

Sabemos que é equivalente a porque , e adicionando múltiplos não muda o valor.
Então,

Passo 10

Portanto, temos:

Resposta

A potência do número complexo (3 raiz35 + i 35)^21 é (65)^21 times i.

Exercícios relacionados