Calcule a potência total de acionamento de um compressor alternativo de pistão não lubrificado, com dois cilindros horizontais de duplo efeito, iguais e opostos, que comprimem gás em um estágio, cujas características do compressor e do gás estão relacionadas a seguir. Utilize para o cálculo do rendimento volumétrico a equação que considera se o compressor é ou não lubrificado.
Rotação: 1.200rpm; Diâmetro do pistão: 13in; Diâmetro da haste: 2in; Curso do pistão: 8in; Clearance do lado da tampa: 25 \%; Clearance do lado da haste: 15 \%; Rendimento termodinâmico: 82 \%; Rendimento mecânico: 92,3 \%; Temperatura de admissão: 32^{\circ} \mathrm{C}; Pressão manométrica de admissão: 500 kPa ; Pressão manométrica de descarga: 1.600 kPa ; Massa molecular: 17,5 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}; Expoente adiabático: 1,28; Fator de compressibilidade na admissão: 0,988 ; Fator de compressibilidade na descarga: 0,986 .

Passo 1

O enunciado pede: calcular a potência total de acionamento (potência necessária no eixo, ou seja, potência fornecida pelo motor) de um compressor alternativo de pistão não lubrificado, de dois cilindros, duplo efeito, iguais e opostos, que comprime gás em um estágio.
Dados fornecidos (vou listar tudo para não nos perder; não resolvo nada aqui, só organizo os números):
  • Rotação: 1200\\ \mathrm{rpm}.
  • Diâmetro do pistão: 13\\ \mathrm{in}.
  • Diâmetro da haste (piston rod): 2\\ \mathrm{in}.
  • Curso do pistão: 8\\ \mathrm{in}.
  • Clearance (lado da tampa / head): 25\%.
  • Clearance (lado da haste / rod): 15\%.
  • Rendimento termodinâmico: 82\%.
  • Rendimento mecânico: 92{,}3\%.
  • Temperatura de admissão: 32^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão manométrica de admissão: 500\\ \mathrm{kPa} (vou tratar isto como pressão manométrica, portanto convertê-la para absoluta somando a pressão atmosférica padrão).
  • Pressão manométrica de descarga: 1600\\ \mathrm{kPa} (idem).
  • Massa molar: 17{,}5\\ \mathrm{g/mol}.
  • Expoente adiabático (valor de k para compressão isentrópica ideal): 1{,}28.
  • Fator de compressibilidade na admissão: Z_a=0{,}988.
  • Fator de compressibilidade na descarga: Z_d=0{,}986.
Constantes e convenções que vou usar (assunções necessárias; se sua prova usar outra, ajuste igual):
  • Pressão atmosférica padrão: p_{atm}=101{,}325\\ \mathrm{kPa}. (Assumo isto porque foram dadas pressões manométricas.)
  • Conversão polegadas → metro: 1\\ \mathrm{in}=0{,}0254\\ \mathrm{m}.
  • Constante universal dos gases: R_u=8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • Converto massa molar para \mathrm{kg/mol}: M=17{,}5\\ \mathrm{g/mol}=0{,}0175\\ \mathrm{kg/mol}.
Agora que sabemos o que se pede e os dados, eu começo a resolver passo a passo.

Passo 2

Converter unidades geométricas e condições de admissão em unidades SI, e calcular áreas e volumes varridos (swept volumes).
  • Converter diâmetros e curso para metros:
d_p = 13\\ \mathrm{in}=13\cdot0{,}0254=0{,}3302\\ \mathrm{m},
d_r = 2\\ \mathrm{in}=2\cdot0{,}0254=0{,}0508\\ \mathrm{m},
S = 8\\ \mathrm{in}=8\cdot0{,}0254=0{,}2032\\ \mathrm{m}.
  • Área do pistão e da haste (fórmula área do círculo A=\pi d^2/4):
A_p=\frac{\pi d_p^2}{4},\qquad A_r=\frac{\pi d_r^2}{4}.
Vou calcular numericamente:
A_p \approx \frac{\pi (0{,}3302)^2}{4}\approx 0{,}08559\\ \mathrm{m^2},
A_r \approx \frac{\pi (0{,}0508)^2}{4}\approx 0{,}002027\\ \mathrm{m^2}.
  • Volumes varridos por curso (swept volumes) em cada face do cilindro:
V_{s,h} = A_p\cdot S \quad\text{(lado da tampa/head)},
V_{s,r} = (A_p - A_r)\cdot S \quad\text{(lado da haste/rod)}.
Cálculos numéricos:
V_{s,h}\approx 0{,}08559\cdot0{,}2032\approx 0{,}017405\\ \mathrm{m^3},
V_{s,r}\approx (0{,}08559-0{,}002027)\cdot0{,}2032\approx 0{,}01698\\ \mathrm{m^3}.

Passo 3

Calcular volumes de clearance (usando as percentagens dadas) e volume reexpandido após descarga (importante para o rendimento volumétrico).
  • Clearance volumes:
V_{c,h}=C_h\cdot V_{s,h},\qquad C_h=0{,}25,
V_{c,r}=C_r\cdot V_{s,r},\qquad C_r=0{,}15.
Numérico:
V_{c,h}\approx 0{,}25\cdot0{,}017405\approx 0{,}004351\\ \mathrm{m^3},
V_{c,r}\approx 0{,}15\cdot0{,}01698\approx 0{,}002547\\ \mathrm{m^3}.
  • Pressões absolutas (converto manométricas para absolutas somando p_{atm}):
p_s = 500\\ \mathrm{kPa}+101{,}325\\ \mathrm{kPa}=601{,}325\\ \mathrm{kPa}=601{,}325\cdot10^3\\ \mathrm{Pa},
p_d = 1600\\ \mathrm{kPa}+101{,}325\\ \mathrm{kPa}=1701{,}325\\ \mathrm{kPa}=1701{,}325\cdot10^3\\ \mathrm{Pa}.
Defino razão de pressão:
r=\frac{p_d}{p_s}\approx \frac{1701325}{601325}\approx 2{,}8297.
  • Quando há clearance, após a descarga o gás no clearance se reexpande politrópicamente (aqui usamos o expoente adiabático k=1{,}28 para o cálculo do volume após re-expansão pelos dados do enunciado). O volume reexpandido é
V_{e} = V_c \left(\frac{p_d}{p_s}\right)^{1/k}.
Calculo dos V_e para cada face:
\left(\frac{p_d}{p_s}\right)^{1/k}=r^{1/k}\approx 2{,}8297^{1/1{,}28}\approx 2{,}253.
Então
V_{e,h}\approx 0{,}004351\cdot2{,}253\approx 0{,}009800\\ \mathrm{m^3},
V_{e,r}\approx 0{,}002547\cdot2{,}253\approx 0{,}005738\\ \mathrm{m^3}.

Passo 4

Calcular o volume efetivo admitido por ciclo em cada face (que define o rendimento volumétrico efetivo) — aqui estou aplicando a fórmula conceitual: volume admitido = volume varrido + clearance - volume reexpandido.
  • Volume admitido por ciclo (cada face) de um cilindro:
V_{in,h} = V_{s,h} + V_{c,h} - V_{e,h},
V_{in,r} = V_{s,r} + V_{c,r} - V_{e,r}.
Numérico:
V_{in,h}\approx 0{,}017405 + 0{,}004351 - 0{,}009800 \approx 0{,}011956\\ \mathrm{m^3},
V_{in,r}\approx 0{,}01698 + 0{,}002547 - 0{,}005738 \approx 0{,}013789\\ \mathrm{m^3}.
  • Volume admitido total por revolução por cilindro (duas faces entram em jogo porque é duplo efeito: cada lado “aspira” uma vez por rotação):
V_{in,\,\text{por cil., por rev}} = V_{in,h}+V_{in,r}\approx 0{,}011956+0{,}013789=0{,}025745\\ \mathrm{m^3}.
Como são 2 cilindros, o volume admitido por revolução no compressor inteiro é 2\cdot0{,}025745\\ \mathrm{m^3}.

Passo 5

Calcular a densidade do gás na admissão (usando o fator de compressibilidade na admissão Z_a) para transformar volume admitido em massa admitida.
  • Temperatura absoluta de admissão:
T_a = 32^\circ\mathrm{C}=32+273{,}15=305{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Densidade usando a equação dos gases reais aproximada por p V = Z R_u T (por mol). Em forma de densidade (massa por volume):
\rho_a = \frac{p_s M}{Z_a R_u T_a}.
Expliquei: aqui p_s é a pressão absoluta de sucção, M é massa molar (kg/mol), Z_a é o fator de compressibilidade na admissão, R_u constante universal. Esse é o jeito prático de obter densidade quando Z difere de 1.
  • Substituindo numericamente:
\rho_a \approx \frac{601{,}325\cdot10^3\cdot0{,}0175}{0{,}988\cdot8{,}314462618\cdot305{,}15}\approx 4{,}199\\ \mathrm{kg/m^3}.

Passo 6

Calcular a vazão mássica do compressor.
  • Primeiro massa admitida por revolução por cilindro:
m_{\text{por rev, por cil}} = \rho_a\cdot V_{in,\,\text{por cil., por rev}}.
Numérico:
m_{\text{por rev, por cil}} \approx 4{,}199\cdot0{,}025745\approx 0{,}10805\\ \mathrm{kg/rev\cdot cil}.
  • Agora a vazão mássica total: cada cilindro dá isso por revolução, há 2 cilindros, e a máquina gira a 1200\\ \mathrm{rpm} (revoluções por minuto). Convertendo para segundos:
\dot m = \frac{\text{rpm}}{60}\cdot (\text{nº de cilindros}) \cdot m_{\text{por rev, por cil}}.º
Substituindo:
\dot m \approx \frac{1200}{60}\cdot 2 \cdot 0{,}10805 = 20\cdot2\cdot0{,}10805 \approx 4{,}322\\ \mathrm{kg/s}.
Comentário didático: esse é o passo em que transformamos volumes admitidos (m^3 por ciclo) em massa por segundo, usando densidade real na admissão. A vazão mássica aparecerá no cálculo de potência porque trabalho é energia por massa vezes massa por segundo.

Passo 7

Calcular o trabalho específico ideal (isentrópico) por kg para compressão de p_s até p_d (fórmula padrão para gás ideal em compressão isentrópica):
  • Fórmula (explicando termos):
w_s = \frac{k}{k-1}\,R_{\text{sp}}\,T_a\left[\left(\frac{p_d}{p_s}\right)^{\frac{k-1}{k}}-1\right],
onde k é o expoente adiabático (razão de calores específicos), R_{\text{sp}}=R_u/M é a constante específica do gás (J/kg·K), T_a é a temperatura absoluta de admissão, e p_d/p_s é a razão de pressões. Essa fórmula vem da integração do trabalho politrópico/isentrópico usando p v^k= const e a relação v=R_{\text{sp}} T/p.
  • Calcular R_{\text{sp}}:
R_{\text{sp}}=\frac{R_u}{M}\approx\frac{8{,}314462618}{0{,}0175}\approx 475{,}97\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Calcular o fator \left(\frac{p_d}{p_s}\right)^{\frac{k-1}{k}}:
\left(\frac{p_d}{p_s}\right)^{\frac{k-1}{k}} = r^{\frac{k-1}{k}}\quad\text{com }r\approx2{,}8297,\\ k=1{,}28,
r^{\frac{k-1}{k}}\approx 2{,}8297^{0{,}21875}\approx 1{,}2559.
  • Agora w_s:
w_s \approx \frac{1{,}28}{1{,}28-1}\cdot475{,}97\cdot305{,}15\cdot(1{,}2559-1).
Calculei numericamente e obtive
w_s \approx 169{,}913\\ \mathrm{kJ/kg}\quad(\text{ou }169{,}913\\ \mathrm{J/kg}).
Breve explicação: w_s é o trabalho teórico mínimo (reversível, adiabático) por kg para comprimir o gás da pressão de sucção até a de descarga, começando na temperatura de admissão T_a.

Passo 8

Incluir o rendimento termodinâmico (ineficiências do processo de compressão) para obter o trabalho real por kg dentro do cilindro (trabalho indicado por unidade de massa).
  • O rendimento termodinâmico dado \eta_{th}=82\%=0{,}82 é entendido aqui como
\eta_{th}=\frac{\text{trabalho isentrópico ideal } w_s}{\text{trabalho real dentro do cilindro } w_{\text{real}}},ó
ou seja w_{\text{real}} = \dfrac{w_s}{\eta_{th}}. (Essa é a definição comum para máquinas de compressão: eficiência isentrópica = trabalho ideal / trabalho real.)
  • Assim:
w_{\text{real}} = \frac{169{,}913\\ \mathrm{J/kg}}{0{,}82}\approx 207{,}201\\ \mathrm{J/kg}.
Comentário: esse w_{\text{real}} é o trabalho que efetivamente precisa ser fornecido por kg de gás dentro do cilindro para vencer irreversibilidades termodinâmicas.

Passo 9

Calcular a potência indicada total (potência correspondente ao trabalho dentro dos cilindros) multiplicando o trabalho real por unidade de massa pela vazão mássica.
  • Potência indicada:
P_i = \dot m \cdot w_{\text{real}}.
Substituindo valores:
P_i \approx 4{,}322\\ \mathrm{kg/s}\cdot 207{,}201\\ \mathrm{J/kg}\approx 895{,}693\\ \mathrm{W}.
Comentário: esta potência é a potência “no interior” do compressor (energia por segundo adicionada ao gás no processo real dentro dos cilindros). Mas mais perdas mecânicas existem entre o virabrequim/eixo e o fluido.

Passo 10

Incluir o rendimento mecânico para obter a potência total de acionamento (potência que o motor precisa fornecer ao eixo).
  • Interpretação do rendimento mecânico \eta_{m}=92{,}3\%=0{,}923:
    Explicando: para compressores, é comum definir \eta_m = \dfrac{\text{potência indicada (despendida no fluido)}}{\text{potência fornecida pelo acionamento no eixo}}êê. Assim, a potência fornecida pelo eixo (potência de acionamento) é
P_{\text{eixo}} = \frac{P_i}{\eta_{m}}.
(Observe que esta definição leva a P_{\text{eixo}}>P_i porque há perdas mecânicas que exigem potência adicional do motor.)
  • Cálculo:
P_{\text{eixo}} \approx \frac{895{,}693\\ \mathrm{W}}{0{,}923}\approx 969{,}990\\ \mathrm{W}.

Passo 11

Arredondamento e interpretação final.
  • A potência total de acionamento encontrada é aproximadamente 9{,}70\times10^{5}\\ \mathrm{W}, ou 970\\ \mathrm{kW}.
  • Cheque de coerência: os passos principais foram (i) calcular o volume efetivamente admitido por ciclo considerando clearance em cada face (importante por ser duplo efeito e por ter haste), (ii) converter em vazão mássica usando Z_a para a densidade na admissão, (iii) calcular trabalho isentrópico por kg usando k e T_a e a razão de pressão, (iv) corrigir por rendimento termodinâmico e por rendimento mecânico. Esses são os pontos que a prova costuma pedir; se a sua prova usar definição diferente de rendimentos (por exemplo, se rendimento termodinâmico fosse usado de outra forma), ajuste a etapa 8 conforme a definição adotada.

Resposta

970\\ \mathrm{kW}

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