Considere um sistema composto por três partículas de massa unitária, cujos respectivos vetores posição e velociade num dado instante t são dados por:
r1=2 x+y-z ; v1=x-y+z
r2=x-2 y+z ; v2=-x-y+z
r3=-2 x+2 y-z ; v3=x+y-z
Calcule:
(a) O momentum angular do sitema em relação à origem.
(b) A energia cinética do sistema.

Passo 1

Temos um sistema de três partículas de massa unitária cujos vetores posição ri e velocidade vi num dado instante t são:
r1=(2,1,-1), v1=(1,-1,1);
r2=(1,-2,1), v2=(-1,-1,1);
r3=(-2,2,-1), v3=(1,1,-1).
Vamos calcular (a) o momento angular total em relação à origem e (b) a energia cinética total. Para isso usamos as fórmulas de mecânica clássica:

Passo 2

O momento angular de cada partícula em relação à origem é
Li ;=;ritimespi com pi=m,vi=vi(m=1)
A energia cinética de cada partícula é
Ti = tfrac12,m,|vi|^2 =tfrac12,|vi|^2

Passo 3

Calculemos os produtos vetoriais ritimesvi:
L1=r1timesv1 = x&y&z 2&1&-1 1&-1&1 =0,x-3,y-3,z
L2=r2timesv2 = x&y&z 1&-2&1 -1&-1&1 =-1,x-2,y-3,z
L3=r3timesv3 = x&y&z -2&2&-1 1&1&-1 =-1,x-3,y-4,z

Passo 4

Somando os três momentos angulares obtemos o momento angular total do sistema:
L =L1+L2+L3 =(0-1-1),x+(-3-2-3),y+(-3-3-4),z =-2,x-8,y-10,z

Passo 5

Agora a energia cinética total é a soma de tfrac12|vi|^2 para i=1,2,3. Cada velocidade tem norma ao quadrado igual a 1^2+(-1)^2+1^2=3. Logo, para cada partícula Ti=tfrac12cdot3=tfrac32. Assim
T=T1+T2+T3 =3timestfrac32 =tfrac92=4,5

Resposta

(a) L=-2,x-8,y-10,z
(b) T=4,5.

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