Calcule o potencial elétrico de uma esfera condutora de raio R para:
a) r ll R;
b) r>R.
Usando este resultado, calcule o campo elétrico e verifique se o resultado é o mesmo quando o campo é calculado pela Lei de Gauss.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você pediu para calcular o potencial elétrico de uma esfera condutora de raio $ R $ em duas situações: quando $ r $ é muito menor que $ R $ (ou seja, dentro da esfera) e quando $ r $ é maior que $ R $ (fora da esfera). Depois, vamos usar esses resultados para achar o campo elétrico e checar se bate com o que a Lei de Gauss nos dá. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de potencial elétrico, campo elétrico e a Lei de Gauss. Vamos dividir isso em passos para ficar mais fácil de acompanhar!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é potencial elétrico. O potencial elétrico $ V $ em um ponto no espaço é a energia potencial por unidade de carga que uma carga testadora teria nesse ponto. Para uma esfera condutora carregada, o potencial depende de onde estamos medindo: dentro ou fora da esfera.

Passo 3

Vamos começar com o caso $ r \ll R $, ou seja, dentro da esfera condutora. Em uma esfera condutora em equilíbrio eletrostático, a carga se distribui apenas na superfície. Isso significa que não há campo elétrico dentro da esfera. Sem campo elétrico, a variação do potencial dentro também é nula, ou seja, o potencial é constante.
Então, para $ r \leq R $:
r ll R
Mas qual é essa constante? É o potencial na superfície da esfera, que vamos encontrar mais adiante.

Passo 4

Agora, vamos para $ r > R $, fora da esfera. Aqui, a esfera se comporta como se toda a carga estivesse concentrada no centro. O potencial elétrico devido a uma carga $ Q $ a uma distância $ r $ é dado por:
r > R
Esta fórmula é semelhante à do potencial gerado por uma partícula pontual.

Passo 5

Voltando ao caso dentro da esfera ($ r \leq R $), sabemos que o potencial é constante e igual ao potencial na superfície. Então, para $ r \leq R $:
r <= R
Assim, temos o potencial nos dois casos:
  • Para $ r \leq R $:
r <= R
  • Para $ r > R $:
V(r) = V(R) = 14pivarepsilon0 cdot QR

Passo 6

Agora, vamos calcular o campo elétrico a partir do potencial. Sabemos que o campo elétrico $ \vec{E} $ está relacionado ao potencial por:
E
No caso de simetria esférica, a derivada se torna uma derivada radial:
E = -nabla V

Passo 7

Vamos calcular $ E® $ para $ r > R $. Usando o potencial $ V® = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r} $:
E(r)
Então, para $ r > R $:
r > R

Passo 8

Agora, para $ r \leq R $, como o potencial é constante, sua derivada em relação a $ r $ é zero:
r <= R
Portanto, dentro da esfera condutora, o campo elétrico é nulo:
r

Passo 9

Agora vamos verificar se esses resultados do campo elétrico batem com o que a Lei de Gauss nos dá. A Lei de Gauss diz que:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Para uma distribuição de carga esférica, podemos simplificar usando simetria.

Passo 10

Para $ r > R $, a carga dentro da superfície gaussiana é toda a carga $ Q $. A Lei de Gauss então nos dá:
r > R
Que é exatamente o que encontramos a partir do potencial!

Passo 11

Para $ r \leq R $, a carga dentro da superfície gaussiana é zero (já que toda a carga está na superfície da esfera). Então:
r <= R
Novamente, bate certinho com o que calculamos usando o potencial.

Resposta

O potencial elétrico da esfera condutora de raio $ R $ é:
R
O campo elétrico correspondente é:
V(r) = 14pivarepsilon0 cdot QR & para r <= R 14pivarepsilon0 cdot Qr & para r > R
E esses resultados confirmam-se com a Lei de Gauss.

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