Calcule o potencial elétrico de uma esfera condutora de raio R para:
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Usando este resultado, calcule o campo elétrico e verifique se o resultado é o mesmo quando o campo é calculado pela Lei de Gauss.
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Usando este resultado, calcule o campo elétrico e verifique se o resultado é o mesmo quando o campo é calculado pela Lei de Gauss.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você pediu para calcular o potencial elétrico de uma esfera condutora de raio $ R $ em duas situações: quando $ r $ é muito menor que $ R $ (ou seja, dentro da esfera) e quando $ r $ é maior que $ R $ (fora da esfera). Depois, vamos usar esses resultados para achar o campo elétrico e checar se bate com o que a Lei de Gauss nos dá. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de potencial elétrico, campo elétrico e a Lei de Gauss. Vamos dividir isso em passos para ficar mais fácil de acompanhar!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é potencial elétrico. O potencial elétrico $ V $ em um ponto no espaço é a energia potencial por unidade de carga que uma carga testadora teria nesse ponto. Para uma esfera condutora carregada, o potencial depende de onde estamos medindo: dentro ou fora da esfera.
Passo 3
Vamos começar com o caso $ r \ll R $, ou seja, dentro da esfera condutora. Em uma esfera condutora em equilíbrio eletrostático, a carga se distribui apenas na superfície. Isso significa que não há campo elétrico dentro da esfera. Sem campo elétrico, a variação do potencial dentro também é nula, ou seja, o potencial é constante.
Então, para $ r \leq R $:
Mas qual é essa constante? É o potencial na superfície da esfera, que vamos encontrar mais adiante.
Passo 4
Agora, vamos para $ r > R $, fora da esfera. Aqui, a esfera se comporta como se toda a carga estivesse concentrada no centro. O potencial elétrico devido a uma carga $ Q $ a uma distância $ r $ é dado por:
Esta fórmula é semelhante à do potencial gerado por uma partícula pontual.
Passo 5
Voltando ao caso dentro da esfera ($ r \leq R $), sabemos que o potencial é constante e igual ao potencial na superfície. Então, para $ r \leq R $:
Assim, temos o potencial nos dois casos:
- Para $ r \leq R $:
- Para $ r > R $:
Passo 6
Agora, vamos calcular o campo elétrico a partir do potencial. Sabemos que o campo elétrico $ \vec{E} $ está relacionado ao potencial por:
No caso de simetria esférica, a derivada se torna uma derivada radial:
Passo 7
Vamos calcular $ E® $ para $ r > R $. Usando o potencial $ V® = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r} $:
Então, para $ r > R $:
Passo 8
Agora, para $ r \leq R $, como o potencial é constante, sua derivada em relação a $ r $ é zero:
Portanto, dentro da esfera condutora, o campo elétrico é nulo:
Passo 9
Agora vamos verificar se esses resultados do campo elétrico batem com o que a Lei de Gauss nos dá. A Lei de Gauss diz que:
Para uma distribuição de carga esférica, podemos simplificar usando simetria.
Passo 10
Para $ r > R $, a carga dentro da superfície gaussiana é toda a carga $ Q $. A Lei de Gauss então nos dá:
Que é exatamente o que encontramos a partir do potencial!
Passo 11
Para $ r \leq R $, a carga dentro da superfície gaussiana é zero (já que toda a carga está na superfície da esfera). Então:
Novamente, bate certinho com o que calculamos usando o potencial.
Resposta
O potencial elétrico da esfera condutora de raio $ R $ é:
O campo elétrico correspondente é:
E esses resultados confirmam-se com a Lei de Gauss.