Calcule o potencial elétrico
produzido por uma esfera de carga
e raio
(com densidade de cargas uniformemente distribuída em seu interior). Considere
no infinito. Represente a função
em todo espaço. Faça um esboço do gráfico. Qual o potencial a
da superfície da esfera?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui! A gente tem uma esfera com carga elétrica total
e raio
, com as cargas distribuídas de forma uniforme no interior da esfera. Nosso objetivo é calcular o potencial elétrico
em qualquer ponto ao redor da esfera, considerando que o potencial é zero no infinito. Além disso, vamos desenhar um gráfico para visualizar essa função e, por fim, encontrar o valor do potencial a
da superfície da esfera.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
- Potencial elétrico: Uma medida da energia potencial por unidade de carga em um ponto no espaço devido a uma distribuição de carga.
- Distribuição uniforme de carga: As cargas estão espalhadas igualmente por todo o volume da esfera.
- Fórmulas do potencial elétrico: Utilizaremos diferentes expressões para dentro e fora da esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o potencial elétrico devido a uma esfera carregada. O potencial elétrico
em um ponto a uma distância
do centro da esfera depende de onde esse ponto está:
- Dentro da esfera (
): A carga está distribuída uniformemente, então a densidade de carga é constante. - Fora da esfera (
): A esfera se comporta como se toda a carga estivesse concentrada no centro.
Vamos calcular a densidade de carga
:
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o potencial elétrico dentro da esfera (
). O potencial devido a uma distribuição de carga uniforme dentro de uma esfera é dado por:
Aqui,
é a constante de permissividade do vácuo, aproximadamente
.
Passo 4
Para fora da esfera (
), o potencial é dado por:
Essa fórmula se assemelha à do potencial de uma carga pontual, já que para pontos externos, a esfera se comporta como se toda a carga estivesse concentrada no centro.
Passo 5
Vamos esboçar o gráfico do potencial
em todo o espaço:
- Dentro da esfera (
): O potencial diminui de forma quadrática à medida que nos afastamos do centro. - Fora da esfera (
): O potencial diminui inversamente com a distância .
O gráfico terá uma curva suave sem descontinuidades na superfície da esfera (
).

Nota: O gráfico é representativo e não escala.
Passo 6
Finalmente, vamos calcular o potencial a
da superfície da esfera. Primeiro, precisamos determinar a distância total
do centro da esfera:
Como
, usamos a fórmula para fora da esfera:
Substituindo os valores:
Resposta
O potencial elétrico a
da superfície da esfera é aproximadamente
.