Calcule o potencial elétrico (V(r)) produzido por uma esfera de carga Q1=+100 mu C e raio R=10,0 cm (com densidade de cargas uniformemente distribuída em seu interior). Considere V=0 no infinito. Represente a função V(r) em todo espaço. Faça um esboço do gráfico. Qual o potencial a 40,0 cm da superfície da esfera?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui! A gente tem uma esfera com carga elétrica total Q1=+100,mu C e raio R=10,0,cm, com as cargas distribuídas de forma uniforme no interior da esfera. Nosso objetivo é calcular o potencial elétrico V(r) em qualquer ponto ao redor da esfera, considerando que o potencial é zero no infinito. Além disso, vamos desenhar um gráfico para visualizar essa função e, por fim, encontrar o valor do potencial a 40,0,cm da superfície da esfera.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  1. Potencial elétrico: Uma medida da energia potencial por unidade de carga em um ponto no espaço devido a uma distribuição de carga.
  2. Distribuição uniforme de carga: As cargas estão espalhadas igualmente por todo o volume da esfera.
  3. Fórmulas do potencial elétrico: Utilizaremos diferentes expressões para dentro e fora da esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o potencial elétrico devido a uma esfera carregada. O potencial elétrico V(r) em um ponto a uma distância r do centro da esfera depende de onde esse ponto está:
  • Dentro da esfera ( r <= R): A carga está distribuída uniformemente, então a densidade de carga rho é constante.
  • Fora da esfera ( r > R): A esfera se comporta como se toda a carga estivesse concentrada no centro.
Vamos calcular a densidade de carga rho:
rho = Q143pi R^3
Substituindo os valores:
rho = 100 times 10^-6,C43pi (0,10,m)^3 approx 7,96 times 10^-3,C/m^3

Passo 3

Agora, vamos encontrar o potencial elétrico dentro da esfera ( r <= R). O potencial devido a uma distribuição de carga uniforme dentro de uma esfera é dado por:
V(r) = 14piepsilon0 ( 3Q12R - Q1 r^22R^3 )
Aqui, epsilon0 é a constante de permissividade do vácuo, aproximadamente 8,85 times 10^-12,C^2/(N cdot m^2).

Passo 4

Para fora da esfera ( r > R), o potencial é dado por:
V(r) = 14piepsilon0 cdot Q1r
Essa fórmula se assemelha à do potencial de uma carga pontual, já que para pontos externos, a esfera se comporta como se toda a carga estivesse concentrada no centro.

Passo 5

Vamos esboçar o gráfico do potencial V(r) em todo o espaço:
  1. Dentro da esfera ( 0 <= r <= R): O potencial diminui de forma quadrática à medida que nos afastamos do centro.
  2. Fora da esfera ( r > R): O potencial diminui inversamente com a distância r.
O gráfico terá uma curva suave sem descontinuidades na superfície da esfera ( r = R).
Gráfico do Potencial Elétrico
Nota: O gráfico é representativo e não escala.

Passo 6

Finalmente, vamos calcular o potencial a 40,0,cm da superfície da esfera. Primeiro, precisamos determinar a distância total r do centro da esfera:
r = R + 40,0,cm = 10,0,cm + 40,0,cm = 50,0,cm = 0,50,m
Como r > R, usamos a fórmula para fora da esfera:
V(r) = 14piepsilon0 cdot Q1r
Substituindo os valores:
V(0,50) = 14pi times 8,85 times 10^-12 cdot 100 times 10^-60,50 approx 9 times 10^90,50 times 100 times 10^-6
V(0,50) approx 1,8 times 10^5,V

Resposta

O potencial elétrico a 40,0,cm da superfície da esfera é aproximadamente 1,8 times 10^5,V.

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