c g=9,8 m / s^2, epsilon0=8,85 cdot 10^-12 C^2 / N cdot m^2, mu0=4 pi cdot 10^-7 T cdot m / A e=1,60 cdot 10^-19 C, K=14 pi r a=8,99 cdot 10^9 N cdot N / C^2 me=9,11 cdot 10^-31 kg, mp=1,67 cdot 10^-27 kg, mn=1,67 cdot 10^-31 kg
Um disco uniformemente carregado tem raio R e densidade de carga superficial sigma. Encontre o potencial elétrico em um ponto P ao longo do eixo x central e perpendicular ao disco.

Passo 1

Beleza, então temos aqui um disco de raio dV = 14piepsilon0,dqr' com densidade de carga superficial . A gente quer encontrar o potencial elétrico em um ponto que está a uma distância ao longo do eixo que passa pelo centro do disco (e perpendicular a ele).
Conteúdo: eletrostática – potencial elétrico gerado por distribuição contínua de carga.
O que vamos precisar:
  1. Definição de potencial: em que é a distância entre o elemento de carga e o ponto .
  2. Expressar em termos de e da área do disco: .
  3. Usar coordenadas cilíndricas (anéis concêntricos) para facilitar a integração.

Passo 2

Teoria básica:
  • O potencial elétrico total é a soma (integral) das contribuições V(P) = integral dV = 14piepsilon0integral dqr' de cada pedacinho de carga.
  • Por superposição, r' = raizr^2 + x^2
  • No nosso caso, o ponto está no eixo, então a distância de um elemento de carga situado a uma distância radial do centro é

Passo 3

Agora a gente quebra o disco em anéis de espessura dA = (2pi r),dr .
  • A área de cada anel: dq = sigma,dA = sigma,(2pi r),dr
  • Então a carga desse anel é dV = 14piepsilon0,dqraizr^2 + x^2 = 14piepsilon0,sigma,2pi r,drraizr^2 + x^2
  • A contribuição de potencial desse anel em :

Passo 4

Integramos V(x)=integral0^R dV = sigma2epsilon0integral0^Rr,drraizr^2+x^2 de integral0^R r,drraizr^2+x^2 = integralu=x^2^u=R^2+x^2 12,duraizu = raizu,|x^2^R^2+x^2 = raizR^2 + x^2;-;x até V(x) = sigma2epsilon0l(raizR^2 + x^2 - xr) :
Para fazer essa integral, usamos a substituição , daí . Então:
Logo,

Resposta

boxed,V(x) = sigma2epsilon0,l(raizR^2 + x^2;-;xr),

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