Calcule as potências indicadas abaixo:
(1+i)^75

Passo 1

O enunciado pede para calcular (1+i)^75. O conteúdo que vamos usar é a representação de um número complexo em forma polar e o Teorema de De Moivre, que nos permite elevar um número complexo à potência n de modo fácil.

Passo 2

Primeiro passamos 1+i para a forma polar re^ivarphi. O módulo é
r = |1+i| = raiz1^2 + 1^2 = raiz2,
e o argumento é
varphi = arg(1+i) = arctan!l(tfrac11r) = tfracpi4

Passo 3

Pelo Teorema de De Moivre,
(1+i)^75 = l(re^ivarphir)^75 = r^75,e^i,75varphi = r^75l(cos(75varphi)+isin(75varphi)r)

Passo 4

Calculamos cada parte:
r^75 = (raiz2)^75 = 2^75/2 = 2^37,5 = 2^37raiz2,
e o ângulo multiplica
75varphi = 75cdottfracpi4 = tfrac75pi4 = 18pi + tfrac3pi4,
que é equivalente a tfrac3pi4 módulo 2pi.

Passo 5

Agora usamos cosl(tfrac3pi4r)=-tfracraiz22 e sinl(tfrac3pi4r)=tfracraiz22:
(1+i)^75 = 2^37raiz2l(-tfracraiz22 + itfracraiz22r) = 2^37l(-1 + ir)

Resposta

(1+i)^75 = 2^37,(-1 + i)

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