Mostre que não é possível introduzir uma ordem <= em C que seja coerente com a ordem usual de R.

Passo 1

O enunciado pede para provar que não existe nenhuma relação de ordem “ <=” em C que
  1. seja total e compatível com as operações de corpo (adição e multiplicação), e
  2. quando restrita aos reais coincida com a ordem usual em R.
Para isso, vamos usar a definição de corpo ordenado e a propriedade de que, num corpo ordenado, todo quadrado é não negativo.

Passo 2

Um corpo K é dito ordenado se existe uma relação total <= em K tal que, para quaisquer a,b,cinK:
  • Se a <= b então a + c <= b + c.
  • Se 0 <= a e 0 <= b então 0 <= a,b.
Dessa definição segue que, para qualquer xinK, seu quadrado satisfaz
x^2 ;>=;0
De fato, como a ordem é total, ou x>=0 ou -x>=0. Em ambos os casos, multiplicando pelo mesmo fator não negativo obtém-se x^2>=0.

Passo 3

Suponha agora, por absurdo, que exista tal ordem em C. Considere o elemento imaginário unitário i. Temos no corpo dos complexos
i^2 = -1
Como em corpo ordenado todo quadrado é não negativo, deveríamos ter
i^2 ;>=;0 Longrightarrow -1 ;>=;0

Passo 4

Porém, restrita aos reais essa ordem teria de ser a ordem usual em R, onde sabemos que
-1 ;<;0
Isso é uma contradição direta: não pode ocorrer simultaneamente -1>=0 e -1<0.

Resposta

Não é possível introduzir em C uma ordem “ <=” que seja corpo-ordenada e, ao mesmo tempo, extenda a ordem usual de R.

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