Mostre que não é possível introduzir uma ordem
que seja coerente com a ordem usual de
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que não existe nenhuma relação de ordem “
” em
que
- seja total e compatível com as operações de corpo (adição e multiplicação), e
- quando restrita aos reais coincida com a ordem usual em
.
Para isso, vamos usar a definição de corpo ordenado e a propriedade de que, num corpo ordenado, todo quadrado é não negativo.
Passo 2
Um corpo
é dito ordenado se existe uma relação total
em
tal que, para quaisquer
:
- Se
então . - Se
e então .
Dessa definição segue que, para qualquer
, seu quadrado satisfaz
De fato, como a ordem é total, ou
ou
. Em ambos os casos, multiplicando pelo mesmo fator não negativo obtém-se
.
Passo 3
Suponha agora, por absurdo, que exista tal ordem em
. Considere o elemento imaginário unitário
. Temos no corpo dos complexos
Como em corpo ordenado todo quadrado é não negativo, deveríamos ter
Passo 4
Porém, restrita aos reais essa ordem teria de ser a ordem usual em
, onde sabemos que
Isso é uma contradição direta: não pode ocorrer simultaneamente
e
.
Resposta
Não é possível introduzir em
uma ordem “
” que seja corpo-ordenada e, ao mesmo tempo, extenda a ordem usual de
.