Calcule as potências indicadas abaixo:
(2-2 i)^17

Passo 1

O enunciado pede para calcular (2-2i)^17. O conteúdo principal aqui é a fórmula de De Moivre, que diz que se escrevemos um número complexo na forma polar ;z = r(costheta + isintheta), então
z^n = r^nl(cos(ntheta) + isin(ntheta)r)

Passo 2

Primeiro convertemos z = 2 - 2i para a forma polar. O módulo r e o argumento theta são dados por
r = raiz2^2 + (-2)^2 = raiz8 = 2raiz2,
theta = arctan!l(tfrac-22r) = -pi4
Ou seja,
2 - 2i = 2raiz2,l(cos(-tfracpi4) + isin(-tfracpi4)r)

Passo 3

Aplicando De Moivre para elevar ao expoente 17, temos
(2-2i)^17 = l(2raiz2r)^17l[cosl(17cdot(-tfracpi4)r) + isinl(17cdot(-tfracpi4)r)r]

Passo 4

Agora simplificamos o ângulo:
17cdotl(-tfracpi4r) = -17pi4 = -4pi - pi4,
e como cos(alpha - 4pi)=cosalpha e sin(alpha - 4pi)=sinalpha, obtemos
cosl(-tfrac17pi4r)=cosl(-tfracpi4r)=raiz22, sinl(-tfrac17pi4r)=sinl(-tfracpi4r)=-raiz22

Passo 5

Falta só ver l(2raiz2r)^17. Note que
l(2raiz2r)^17 = 2^17l(raiz2r)^17 = 2^17,2^tfrac172 = 2^tfrac34+172 = 2^tfrac512
Assim,
(2-2i)^17 = 2^tfrac512l(tfracraiz22 - i,tfracraiz22r) = 2^tfrac512raiz22(1 - i) = 2^25(1 - i)

Resposta

(2 - 2i)^17 = 2^25,(1 - i)

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