Resolva cada uma das integrais indefinidas abaixo, pelo método de integração por funções trigonométricas
I=integral d xraiz9 x^2-4

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
I=integral dxraiz9x^2-4
Usaremos substituição trigonométrica porque temos raiza^2x^2-b^2. Aqui a=3 e b=2.

Passo 2

Fazemos a substituição típica para raiz9x^2-4:
x = 23sectheta,
pois assim 9x^2-4 = 9l(tfrac23secthetar)^2-4 =4sec^2theta-4=4tan^2theta.

Passo 3

Calculamos dx e a raiz em termos de theta:
dx = 23secthetatantheta,dtheta, raiz9x^2-4 = 2tantheta

Passo 4

Substituindo na integral, obtemos
I = integral 23secthetatantheta,dtheta2tantheta = 13integral sectheta,dtheta

Passo 5

Sabemos que
integral sectheta,dtheta = lnl|sectheta + tanthetar| + C
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I = 13lnl|sectheta + tanthetar| + C

Passo 6

Voltando a x:
sectheta = 3x2, tantheta = raizsec^2theta -1 = raiz9x^2-42
Assim
sectheta + tantheta = 3x + raiz9x^2-42
No log, a constante ln 2 pode ser absorvida em C.

Resposta

boxedI = 13lnl|3x + raiz9x^2-4r| + C

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