Mostre que para quaisquer
, vale a fórmula do binômio de Newton:
onde
, para
.
Passo 1
O enunciado pede para provar, para quaisquer
e
, que
onde
.
O plano é usar indução em , aproveitando que
é um anel comutativo, de modo que podemos distribuir e reindexar as somas.
O plano é usar indução em
Passo 2
(Base da indução) Para
temos
e o somatório vai de
a
:
Logo a fórmula vale para
.
Passo 3
(Hipótese de indução) Suponha que a fórmula valha para um certo
, isto é,
Queremos mostrar que então vale para
.
Passo 4
Começamos por escrever
Como
é comutativo e distributivo,
Passo 5
Separemos em duas somas:
Na primeira soma, mude a variável
, de modo que
vai de
a
e
. A segunda soma já está em potências
com
variando de
a
. Então reescrevemos ambas como soma em
de
a
, atribuindo
:
Passo 6
Somando termo a termo,
Pelo triângulo de Pascal vale
Logo
Isso completa o passo da indução.
Passo 7
Concluímos que, por indução em
, para todo
e
vale a fórmula do binômio de Newton:
Resposta
Foi demonstrado por indução que
para todos
e
.