Mostre que para quaisquer z, w in C e n in N, vale a fórmula do binômio de Newton:
(z+w)^n=sumk=0^nbinomnk z^k w^n-k,
onde binomnk doteq n!k!(n-k)!, para k=0,1, ldots, n.

Passo 1

O enunciado pede para provar, para quaisquer z,winC e ninN, que
(z+w)^n ;=;sumk=0^nbinomnkz^kw^n-k,
onde binomnk=n!k!(n-k)!.
O plano é usar indução em n, aproveitando que C é um anel comutativo, de modo que podemos distribuir e reindexar as somas.

Passo 2

(Base da indução) Para n=0 temos
(z+w)^0 = 1,
e o somatório vai de k=0 a 0:
sumk=0^0binom0kz^k w^0-k =binom00z^0w^0=1cdot1cdot1=1
Logo a fórmula vale para n=0.

Passo 3

(Hipótese de indução) Suponha que a fórmula valha para um certo n, isto é,
(z+w)^n ;=;sumk=0^nbinomnkz^kw^n-k
Queremos mostrar que então vale para n+1.

Passo 4

Começamos por escrever
(z+w)^n+1 = (z+w),(z+w)^n =(z+w),sumk=0^nbinomnkz^kw^n-k
Como C é comutativo e distributivo,
(z+w)^n+1 =sumk=0^nbinomnkl(zcdot z^kw^n-k+wcdot z^kw^n-kr)

Passo 5

Separemos em duas somas:
sumk=0^nbinomnkz^k+1w^n-k ;+; sumk=0^nbinomnkz^kw^n-k+1
Na primeira soma, mude a variável j=k+1, de modo que j vai de 1 a n+1 e binomnk=binomnj-1. A segunda soma já está em potências w^(n+1)-k com k=j variando de 0 a n. Então reescrevemos ambas como soma em j de 0 a n+1, atribuindo binomn-1=binomnn+1=0:
sumj=0^n+1binomnj-1z^j w^n+1-j ;+; sumj=0^n+1binomnj,z^j w^n+1-j

Passo 6

Somando termo a termo,
(z+w)^n+1 =sumj=0^n+1l[binomnj-1+binomnjr],z^j w^n+1-j
Pelo triângulo de Pascal vale
binomnj-1+binomnj=binomn+1j
Logo
(z+w)^n+1 =sumj=0^n+1binomn+1jz^j w^(n+1)-j
Isso completa o passo da indução.

Passo 7

Concluímos que, por indução em n, para todo ninN e z,winC vale a fórmula do binômio de Newton:
(z+w)^n=sumk=0^nbinomnkz^kw^n-k

Resposta

Foi demonstrado por indução que
(z+w)^n=sumk=0^nbinomnkz^kw^n-k,
para todos z,winC e ninN.

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