Calcule as potências indicadas abaixo:
(1-i)^16

Passo 1

O enunciado pede para calcular (1 - i)^16. O conteúdo aqui é potenciação de número complexo, e vamos usar a forma polar do complexo e o Teorema de De Moivre para elevar à potência.

Passo 2

Convertendo 1 - i para forma polar, primeiro o módulo:
r = |1 - i| = raiz1^2 + (-1)^2 = raiz2
Em seguida, o argumento theta satisfaz tan(theta) = tfrac-11 = -1, e como o ponto (1,-1) está no quarto quadrante, temos
theta = -pi4
Logo
1 - i = r,e^itheta = raiz2,e^-ipi/4

Passo 3

Pelo Teorema de De Moivre, para um complexo em forma polar vale
(r,e^itheta)^n = r^n,e^i ntheta
Aqui n=16, r=raiz2 e theta=-pi/4. Logo
(1-i)^16 = l(raiz2r)^16,e^i,(16),(-pi/4)

Passo 4

Calculamos separadamente as duas partes:
l(raiz2r)^16 = (2^1/2)^16 = 2^8 = 256,
16cdotl(-pi4r) = -4pi Longrightarrow e^-i4pi = 1

Passo 5

Multiplicando as partes, obtemos
(1-i)^16 = 256 times 1 = 256

Resposta

256

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