Calcule as potências indicadas abaixo:
(-1+i)^1977

Passo 1

O enunciado pede para calcular (-1+i)^1977. O conteúdo envolvido é a forma polar de números complexos e o Teorema de De Moivre, que diz que
re^ithetalongrightarrow r^n e^i ntheta

Passo 2

Primeiro, escrevemos -1+i em coordenadas polares. O módulo é
r = raiz(-1)^2 + 1^2 = raiz2,
e o argumento theta satisfaz tantheta = 1-1=-1 com -1+i no segundo quadrante. Logo,
theta = 3pi4

Passo 3

Pelo Teorema de De Moivre,
(-1+i)^1977 = l(raiz2r)^1977l[cosl(1977cdottfrac3pi4r) + i,sinl(1977cdottfrac3pi4r)r]

Passo 4

Reduzimos o ângulo módulo 2pi:
1977cdottfrac3pi4 = 5931pi4 = 1482pi + 3pi4,
e e^i,1482pi=1. Portanto o ângulo efetivo é tfrac3pi4.

Passo 5

Agora simplificamos a magnitude:
l(raiz2r)^1977 = 2^1977/2 = 2^988+tfrac12 = 2^988raiz2
Então
(-1+i)^1977 = 2^988raiz2l[costfrac3pi4 + isintfrac3pi4r]

Passo 6

Como costfrac3pi4=-tfrac1raiz2 e sintfrac3pi4=tfrac1raiz2, fica
(-1+i)^1977 = 2^988raiz2l(-tfrac1raiz2 + itfrac1raiz2r) = 2^988(-1 + i)

Resposta

(-1+i)^1977 = 2^988(-1 + i)

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