Resolva cada uma das integrais indefinidas abaixo, pelo método de integração por funções trigonométricas
I=integral raiz16-x^2x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral I = integral raiz16 - x^2x^2 , dx usando funções trigonométricas. Esse tipo de problema envolve cálculo integral, mais especificamente técnicas de substituição trigonométrica. Para resolver, vamos seguir alguns passos que vão te ajudar a entender melhor como aplicar essas funções na integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz: raiz16 - x^2. Perceba que isso se parece com a identidade trigonométrica 1 - sin^2theta = cos^2theta ou 1 - cos^2theta = sin^2theta. Para facilitar, vamos fazer uma substituição trigonométrica que simplifique essa raiz.
Vamos usar a substituição:
x = 4sintheta
Dessa forma, dx será:
dx = 4costheta , dtheta

Passo 3

Agora, substituímos x e dx na integral original:
I = integral raiz16 - (4sintheta)^2(4sintheta)^2 cdot 4costheta , dtheta
Simplificando dentro da raiz:
raiz16 - 16sin^2theta = raiz16(1 - sin^2theta) = raiz16cos^2theta = 4costheta
Então, a integral fica:
I = integral 4costheta16sin^2theta cdot 4costheta , dtheta = integral 16cos^2theta16sin^2theta , dtheta = integral cos^2thetasin^2theta , dtheta
Isso pode ser simplificado usando a identidade cot^2theta = cos^2thetasin^2theta:
I = integral cot^2theta , dtheta

Passo 4

Sabemos que a integral de cot^2theta pode ser resolvida utilizando a identidade cot^2theta = csc^2theta - 1. Então:
I = integral (csc^2theta - 1) , dtheta = integral csc^2theta , dtheta - integral 1 , dtheta
As integrais conhecidas são:
integral csc^2theta , dtheta = -cottheta + C e integral 1 , dtheta = theta + C
Portanto:
I = -cottheta - theta + C

Passo 5

Agora, precisamos voltar para a variável original x. Lembrando que fizemos a substituição x = 4sintheta, podemos desenhar um triângulo retângulo para relacionar theta e expressar cottheta em termos de x.
No triângulo:
  • O lado oposto a theta é x = 4sintheta.
  • A hipotenusa é 4.
  • O lado adjacente, pela pitagórica, é raiz16 - x^2.
Então,
cottheta = adjacenteoposto = raiz16 - x^2x
E,
theta = arcsin(x4)

Passo 6

Substituindo de volta na expressão para I:
I = -raiz16 - x^2x - arcsin(x4) + C

Resposta

Portanto, a integral é:
boxedI = -raiz16 - x^2x - arcsin(x4) + C

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