Resolva cada uma das integrais indefinidas abaixo, pelo método de integração por funções trigonométricas
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando funções trigonométricas. Esse tipo de problema envolve cálculo integral, mais especificamente técnicas de substituição trigonométrica. Para resolver, vamos seguir alguns passos que vão te ajudar a entender melhor como aplicar essas funções na integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
. Perceba que isso se parece com a identidade trigonométrica
ou
. Para facilitar, vamos fazer uma substituição trigonométrica que simplifique essa raiz.
Vamos usar a substituição:
Dessa forma,
será:
Passo 3
Agora, substituímos
e
na integral original:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Isso pode ser simplificado usando a identidade
:
Passo 4
Sabemos que a integral de
pode ser resolvida utilizando a identidade
. Então:
As integrais conhecidas são:
Portanto:
Passo 5
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que fizemos a substituição
, podemos desenhar um triângulo retângulo para relacionar
e expressar
em termos de
.
No triângulo:
- O lado oposto a
é . - A hipotenusa é
. - O lado adjacente, pela pitagórica, é
.
Então,
E,
Passo 6
Substituindo de volta na expressão para
:
Resposta
Portanto, a integral é: