Resolva cada uma das integrais indefinidas abaixo, pelo método de integração por funções trigonométricas
I=integral d xx cdot raiz4 x^2+9

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
I = integral dxx ,raiz4x^2+9
usando o método de substituição trigonométrica. Vamos usar uma substituição que transforme raiz4x^2+9 em função de seno ou cosseno e simplifique o quociente.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 32,tantheta,
de onde
dx = 32,sec^2theta,dtheta, raiz4x^2+9 = raiz4l(32tanthetar)^2+9 = 3,sectheta
No denominador temos
x,raiz4x^2+9 = 32tantheta ,cdot 3sectheta = 92,tantheta,sectheta

Passo 3

Substituindo em I,
I = integral 32sec^2theta,dtheta92,tantheta,sectheta = integral 32cdot29,sec^2thetatantheta,sectheta,dtheta = 13integral secthetatantheta,dtheta
Observando que secthetatantheta=1/costhetasintheta/costheta=csctheta, fica
I = 13integral csctheta,dtheta = 13l(-lnl|csctheta+cotthetar|r)+C = -13lnl|csctheta+cotthetar|+C

Passo 4

Voltando à variável x, usamos
tantheta = 2x3, sectheta = raiz1+tan^2theta = raiz4x^2+93,
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csctheta = 1sintheta = secthetatantheta = raiz4x^2+93cdot32x = raiz4x^2+92x,
e
cottheta = 1tantheta = 32x
Portanto
csctheta+cottheta = raiz4x^2+92x + 32x = raiz4x^2+9+32x
Substituindo em I obtemos
I = -13lnl|raiz4x^2+9+32xr|+C,
que pode ser reescrito como
I = 13lnl|2xraiz4x^2+9+3r|+C' (absorvendo constantes)

Resposta

boxedI = -13lnl|raiz4x^2+9+32xr|+C

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