Calcule as potências indicadas abaixo:
(raiz3+i)^2025

Passo 1

O enunciado pede para calcular (raiz3+i)^2025.
O conteúdo envolvido é a forma trigonométrica de um número complexo e o Teorema de De Moivre, que diz que, para z=r(costheta+isintheta), temos
z^n = r^nl(cos(ntheta)+isin(ntheta)r)

Passo 2

Vamos chamar z=raiz3+i. Primeiro achamos o módulo r e o argumento theta:
r = |z| = raiz(raiz3)^2 + 1^2 = raiz3+1 = 2,
theta = arg(z) = arctan!l(tfrac1raiz3r) = tfracpi6

Passo 3

Escrevendo z em forma trigonométrica e aplicando De Moivre, obtemos
(raiz3+i)^2025 = l[2(costfracpi6+isintfracpi6)r]^2025 = 2^2025l(cos(2025cdottfracpi6)+isin(2025cdottfracpi6)r)

Passo 4

Agora simplificamos o ângulo:
2025cdottfracpi6 = 337.5,pi
Como 337.5 = 2cdot168 + 1.5, segue que
337.5,pi equiv 1.5,pi pmod2pi ou seja 337.5,pi = tfrac3pi2 (bmod,2pi)

Passo 5

Finalmente, usamos costfrac3pi2=0 e sintfrac3pi2=-1. Então
(raiz3+i)^2025 = 2^2025l(0 + icdot(-1)r) = -,2^2025,i

Resposta

-2^2025i

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