Calcule as potências indicadas abaixo:
(-1+raiz3 i)^2008

Passo 1

O enunciado pede para calcular (-1 + raiz3i)^2008. O conteúdo da matéria envolve representação de números complexos na forma polar e o uso do Teorema de De Moivre.

Passo 2

Encontramos o módulo e o argumento de z = -1 + raiz3i.
O módulo é
|z| = raiz(-1)^2 + (raiz3)^2 = 2
Como Re(z) = -1 < 0 e Im(z) = raiz3 > 0, o argumento principal fica no segundo quadrante, dado por
arg(z) = pi - arctan!l(tfracraiz31r) = pi - tfracpi3 = tfrac2pi3

Passo 3

Pela fórmula de De Moivre,
z^2008 = |z|^2008l[cosl(2008,arg(z)r) + i,sinl(2008,arg(z)r)r]

Passo 4

Calculamos o ângulo múltiplo:
2008,arg(z) = 2008 cdot tfrac2pi3 = tfrac4016pi3
Reduzindo módulo 2pi, observe que
tfrac4016pi3 = 2pi cdot 669 + tfrac2pi3,
portanto o ângulo efetivo é tfrac2pi3. Logo
z^2008 = 2^2008l[costfrac2pi3 + i,sintfrac2pi3r]

Passo 5

Sabemos que costfrac2pi3 = -tfrac12 e sintfrac2pi3 = tfracraiz32. Então
z^2008 = 2^2008l(-tfrac12 + itfracraiz32r) = -2^2007 + i,2^2007raiz3

Resposta

(-1+raiz3i)^2008 = -2^2007 + 2^2007iraiz3

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