Resolva cada uma das integrais indefinidas abaixo, pelo método de integração por funções trigonométricas
I=integral d xx^3 cdot(x^2-9)^1 / 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I = integral dxx^3raizx^2-9
usando o método de substituição trigonométrica. Vamos aproveitar que aparece raizx^2-9, o que sugere a substituição x=3sectheta.

Passo 2

Adotamos
x = 3sectheta, dx = 3secthetatantheta,dtheta, raizx^2-9 = raiz9sec^2theta-9=3tantheta
Além disso x^3=(3sectheta)^3=27sec^3theta.

Passo 3

Substituindo em I:
I =integral 3secthetatantheta,dtheta27sec^3thetacdot 3tantheta =integral 3secthetatantheta81sec^3thetatantheta,dtheta =127integral 1sec^2theta,dtheta =127integral cos^2theta,dtheta

Passo 4

Usamos cos^2theta=tfrac1+cos2theta2:
I=127integral 1+cos2theta2,dtheta =154integral(1+cos2theta),dtheta =154l(theta+tfrac12sin2thetar)+C

Passo 5

Voltando a : de tiramos
.
E
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Resposta

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