Resolva cada uma das integrais indefinidas abaixo, pelo método de integração por funções trigonométricas
I=integral x^2 d x(9-x^2)^3 / 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
I = integral x^2,dxl(9 - x^2r)^3/2
usando o método de integração por substituição trigonométrica. Vamos usar a substituição apropriada para expressar toda a integral em função de um ângulo theta.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 3sintheta, dx = 3costheta,dtheta, 9 - x^2 = 9cos^2theta
Então
I = integral (3sintheta)^2,l(3costheta,dthetar)l(9cos^2thetar)^3/2 = integral 9sin^2thetacdot 3costheta,dtheta27cos^3theta = integral 27sin^2thetacostheta,dtheta27cos^3theta = integral tan^2theta,dtheta

Passo 3

Usamos a identidade tan^2theta = sec^2theta - 1 para reescrever a integral:
integral tan^2theta,dtheta = integral l(sec^2theta - 1r),dtheta = integral sec^2theta,dtheta ;-; integral 1,dtheta = tantheta - theta + C

Passo 4

Retornamos à variável x. Da substituição,
tantheta = xraiz9 - x^2, theta = arcsin!l(tfracx3r)
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I = xraiz9 - x^2 ;-; arcsin!l(tfracx3r) + C

Resposta

boxed,I = xraiz9 - x^2 - arcsin!l(tfracx3r) + C,

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