Mostre que as afirmações abaixo são todas equivalentes a respeito de um número
:
(1)
;
(2)
;
(3)
;
(4)
.
(1)
(2)
(3)
(4)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para um número complexo
, as quatro condições abaixo são logicamente equivalentes:
(1) .
(2) .
(3) .
(4) .
O conteúdo que vamos usar é a representação usual de um complexo e as definições de parte real, parte imaginária e módulo.
(1)
(2)
(3)
(4)
O conteúdo que vamos usar é a representação usual de um complexo e as definições de parte real, parte imaginária e módulo.
Passo 2
Seja
com
. Então, por definição,
e
Passo 3
Mostramos que (2)
(3).
Como
Como
temos
Passo 4
Mostramos que (1)
(3).
Por definição, dizer é o mesmo que escrever
Por definição, dizer
ou seja, a parte imaginária de
deve ser zero. Logo
Passo 5
Mostramos que (4)
(3).
Usando e
, a igualdade
Usando
é
Resposta
Como todas as condições (1), (2), (3) e (4) são equivalentes a
, concluímos que elas são mutuamente equivalentes.