Mostre que as afirmações abaixo são todas equivalentes a respeito de um número z in C :
(1) z in R;
(2) z=Re z;
(3) Im z=0;
(4) |z|=|Re z|.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para um número complexo z, as quatro condições abaixo são logicamente equivalentes:
(1) zinR.
(2) z=Rez.
(3) Imz=0.
(4) lvert zrvert=lvertRezrvert.
O conteúdo que vamos usar é a representação usual de um complexo e as definições de parte real, parte imaginária e módulo.

Passo 2

Seja
z = x + i,y,
com x,yinR. Então, por definição,
Rez = x, Imz = y,
e
lvert zrvert = raizx^2 + y^2

Passo 3

Mostramos que (2) ,Leftrightarrow(3).
Como
z = Rez + i,Imz = x + i,y,
temos
z = Rez ;Long<=ftrightarrow; x + i,y = x ;Long<=ftrightarrow; y = 0 ;Long<=ftrightarrow; Imz = 0

Passo 4

Mostramos que (1) ,Leftrightarrow(3).
Por definição, dizer zinR é o mesmo que escrever
z = x (xinR),
ou seja, a parte imaginária de z deve ser zero. Logo
zinR ;Long<=ftrightarrow; Imz = 0

Passo 5

Mostramos que (4) ,Leftrightarrow(3).
Usando lvert zrvert = raizx^2 + y^2 e lvertRezrvert = lvert xrvert, a igualdade
lvert zrvert = lvertRezrvert
é
raizx^2 + y^2 = lvert xrvert ;Long<=ftrightarrow; x^2 + y^2 = x^2 ;Long<=ftrightarrow; y^2 = 0 ;Long<=ftrightarrow; y = 0 ;Long<=ftrightarrow; Imz = 0

Resposta

Como todas as condições (1), (2), (3) e (4) são equivalentes a Imz=0, concluímos que elas são mutuamente equivalentes.

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