Calcule as potências.
\left(\frac{1}{2}+i \frac{1}{2}\right)^{10}

Passo 1

O enunciado pede calcular \bigl(\tfrac12 + i\tfrac12\bigr)^{10}. Vamos usar representação polar de número complexo e o Teorema de De Moivre para elevar à potência.

Passo 2

Escrevemos
z = \frac12 + i\frac12 = \frac{1+i}{2}.
O módulo é
r = \bigl|z\bigr| = \frac{|1+i|}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt2},
e o argumento é
\theta = \arg(1+i) = \frac{\pi}{4}.
Logo
z = \frac{1}{\sqrt2}\,e^{\,i\pi/4}.

Passo 3

Pelo Teorema de De Moivre,
z^{10} = \bigl(r\,e^{\,i\theta}\bigr)^{10} = r^{10}\,e^{\,i\,10\theta}.

Passo 4

Calculamos separadamente
r^{10} = \bigl(\tfrac{1}{\sqrt2}\bigr)^{10} = 2^{-5} = \tfrac{1}{32},
e
10\theta = 10\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}, \quad e^{\,i(2\pi+\pi/2)} = e^{\,i\pi/2} = i.
Portanto
z^{10} = \frac{1}{32}\,i = \frac{i}{32}.

Resposta

\displaystyle \frac{i}{32}

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