Calcule, com precisão até a sexta casa decimal, os seguintes valores:
ln 1,3;

Passo 1

O enunciado pede para calcular ln1,3 com precisão até a sexta casa decimal. O conteúdo usado será a série de Taylor (série alternada) para
ln(1+z)=sumn=1^infty(-1)^n+1z^nn,
válida para -1<z<=1. Aqui escolhemos z=0,3, pois 1+z=1,3.

Passo 2

Cada termo da série é dado por
tn=(-1)^n+1(0,3)^nn
Para garantir a precisão até a sexta casa decimal, usaremos o critério do resto da série alternada, que diz que o erro ao truncar após n termos tem módulo no máximo |tn+1|.

Passo 3

Calculamos tn até encontrar |tn|<5times10^-7:
t1&=0,3, t2&=-0,3^22=-0,045, t3&=0,3^33=0,009, t4&=-0,3^44=-0,002025, t5&=0,3^55=0,000486, t6&=-0,3^66=-0,0001215, t7&=0,3^77approx0,000031243, t8&approx-0,000008201, t9&approx0,000002187, t10&approx-0,00000059049, t11&approx0,000000161953, t12&approx-0,000000044287
Como |t12|<5times10^-7, truncamos aqui sem ultrapassar o erro permitido.

Passo 4

Somando de n=1 a n=12, temos
ln1,3approxsumn=1^12tnapprox0,2623642558ldots
Arredondando à sexta casa decimal, obtemos 0,262364.

Resposta

ln1,3approx0,262364

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