Calcule, com uma precisão de 5 casas decimais, os seguintes valores.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
com precisão de 5 casas decimais. O tópico envolve exponentes fracionários e radiciação, e vamos usar a propriedade que conecta potências racionais a logaritmos e exponenciais para fazer a aproximação sem pular etapas.
Passo 2
Usamos a identidade
[
(1,08)^{1/4} = \exp\bigl(\tfrac14\ln(1,08)\bigr)
]
para transformar a potência fracionária num cálculo de logaritmo seguido de exponencial, o que facilita a aproximação numérica.
[
(1,08)^{1/4} = \exp\bigl(\tfrac14\ln(1,08)\bigr)
]
para transformar a potência fracionária num cálculo de logaritmo seguido de exponencial, o que facilita a aproximação numérica.
Passo 3
Para encontrar
usamos a série de Taylor em torno de
para
:
[
\ln(1+x)=x-\frac{x2}{2}+\frac{x3}{3}-\frac{x^4}{4}+\dots
]
com , então
[
\ln(1,08)\approx 0,08-\frac{0,082}{2}+\frac{0,083}{3}-\frac{0,08^4}{4}
]
[
=0,08-0,0032+0,00017067-0,00001024\approx0,076961
]
[
\ln(1+x)=x-\frac{x2}{2}+\frac{x3}{3}-\frac{x^4}{4}+\dots
]
com
[
\ln(1,08)\approx 0,08-\frac{0,082}{2}+\frac{0,083}{3}-\frac{0,08^4}{4}
]
[
=0,08-0,0032+0,00017067-0,00001024\approx0,076961
]
Passo 4
Multiplicamos esse resultado por
para obter o expoente da exponencial:
[
\tfrac14\ln(1,08)\approx\tfrac14\times0,076961=0,01924025
]
[
\tfrac14\ln(1,08)\approx\tfrac14\times0,076961=0,01924025
]
Passo 5
Agora aproximamos
usando a série de Taylor para a exponencial até a ordem 4:
[
\exp(y)=1+y+\frac{y2}{2}+\frac{y3}{6}+\frac{y^4}{24}+\dots
]
com . Calculando cada termo e somando, obtemos aproximadamente
[
1,01942652
]
[
\exp(y)=1+y+\frac{y2}{2}+\frac{y3}{6}+\frac{y^4}{24}+\dots
]
com
[
1,01942652
]
Passo 6
Por fim, arredondamos esse valor para 5 casas decimais, resultando em 1,01943.
Resposta
1,01943