Calcule, com uma precisão de 5 casas decimais, os seguintes valores.
ln (0,8)

Passo 1

A questão pede para calcular o logaritmo natural de 0,8 com precisão de cinco casas decimais, ou seja, encontrar ln(0,8). Vamos usar a expansão de Taylor em torno de 1 (logaritmo de 1-x).

Passo 2

A série de Taylor para o logaritmo natural em torno de 1 é dada por
ln(1 - x) = -sumn=1^infty x^nn, para |x|<1
Aqui identificamos x = 0,2 pois 0,8 = 1 - 0,2.

Passo 3

Substituindo x = 0,2 na série, cada termo é
x^nn = 0,2^nn
Vamos calcular os primeiros termos até a soma estabilizar nas cinco casas decimais:
Termo 1: 0,2
Termo 2: tfrac0,2^22 = 0,02
Termo 3: tfrac0,2^33 approx 0,0026667
Termo 4: tfrac0,2^44 = 0,0004
Termo 5: tfrac0,2^55 = 0,000064
Termo 6: tfrac0,2^66 approx 0,000010667
Somando esses seis já damos conta das primeiras cinco casas.

Passo 4

Fazendo a soma parcial e lembrando do sinal negativo em ln(1-x):
ln(0,8) = -l(0,2 + 0,02 + 0,0026667 + 0,0004 + 0,000064 + 0,000010667 + dotsr) approx -0,2231435
Para garantir as cinco casas corretas, podemos acrescentar mais um ou dois termos e verificar que a soma não muda nas primeiras cinco posições após a vírgula.
Arredondando o valor obtido às cinco casas decimais, temos o resultado final:

Resposta

-0,22314

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