Passo 1
Beleza, vamos resolver dois limites juntos aqui. O primeiro envolve o módulo de uma expressão, e o segundo é uma fração polinomial. Para isso, vamos usar conhecimentos de limites, propriedades de funções contínuas, e álgebra básica como fatoração de polinômios. Vamos precisar entender como manipular expressões com valores absolutos e simplificar frações para encontrar o comportamento das funções perto dos pontos dados.
Passo 2
Vamos começar com o primeiro limite:
Primeiro, vamos analisar o denominador
. Podemos fatorar esse polinômio para simplificar a expressão. Procuramos dois números que multiplicados dão -6 e somados dão 1. Esses números são 3 e -2.
Então,
Agora, substituímos de volta na expressão do limite:
Percebemos que o termo
está no denominador e no numerador, mas no numerador está dentro do valor absoluto. Precisamos considerar o comportamento da função quando
se aproxima de 2 pela direita (
) e pela esquerda (
).
Quando
:
O
é positivo, então
. A expressão fica:
Então,
Quando
:
O
é negativo, então
. A expressão fica:
Então,
Como os limites laterais são diferentes (
e
), o limite geral não existe.
Passo 3
Agora vamos para o segundo limite:
Primeiro, vamos fatorar tanto o numerador quanto o denominador.
O numerador
é um quadrado perfeito:
O denominador
é uma diferença de quadrados:
Substituindo de volta na expressão do limite:
Agora podemos simplificar a expressão, já que
:
Substituindo
:
Resposta
O primeiro limite não existe, já que os limites laterais são diferentes. O segundo limite é igual a 0.