llim x 2 |x-2|x^2+x-6 lim x 3 x^2-6 x+9x^2-9

Passo 1

Beleza, vamos resolver dois limites juntos aqui. O primeiro envolve o módulo de uma expressão, e o segundo é uma fração polinomial. Para isso, vamos usar conhecimentos de limites, propriedades de funções contínuas, e álgebra básica como fatoração de polinômios. Vamos precisar entender como manipular expressões com valores absolutos e simplificar frações para encontrar o comportamento das funções perto dos pontos dados.

Passo 2

Vamos começar com o primeiro limite:
limx to 2 |x-2|x^2 + x - 6
Primeiro, vamos analisar o denominador x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2) . Podemos fatorar esse polinômio para simplificar a expressão. Procuramos dois números que multiplicados dão -6 e somados dão 1. Esses números são 3 e -2.
Então,
limx to 2 |x-2|(x + 3)(x - 2)
Agora, substituímos de volta na expressão do limite:
x - 2(x + 3)(x - 2) = 1x + 3
Percebemos que o termo limx to 2^+ 1x + 3 = 12 + 3 = 15 está no denominador e no numerador, mas no numerador está dentro do valor absoluto. Precisamos considerar o comportamento da função quando 2 - x(x + 3)(x - 2) = -(x - 2)(x + 3)(x - 2) = -1x + 3 se aproxima de 2 pela direita ( limx to 2^- -1x + 3 = -12 + 3 = -15 ) e pela esquerda ( ).
Quando :
O é positivo, então . A expressão fica:
Então,
Quando :
O é negativo, então . A expressão fica:
Então,
Como os limites laterais são diferentes ( e ), o limite geral não existe.

Passo 3

Agora vamos para o segundo limite:
limx to 3 x^2 - 6x + 9x^2 - 9
Primeiro, vamos fatorar tanto o numerador quanto o denominador.
O numerador x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 é um quadrado perfeito:
x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)
O denominador (x - 3)^2(x - 3)(x + 3) = x - 3x + 3, x neq 3 é uma diferença de quadrados:
limx to 3 x - 3x + 3
Substituindo de volta na expressão do limite:
3 - 33 + 3 = 06 = 0
Agora podemos simplificar a expressão, já que :
Substituindo :

Resposta

O primeiro limite não existe, já que os limites laterais são diferentes. O segundo limite é igual a 0.

Exercícios relacionados