Calcule com precisão de cinco casas decimais integral12^1 sen(x)x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integraltfrac12^1sin(x)x,dx
com precisão de cinco casas decimais. Esse integral não tem primitiva elementar, mas podemos usar a função integral seno
Si(x) e séries numéricas para obter o valor desejado.

Passo 2

Definimos a função integral seno por
Si(x)=integral0^xsin(t)t,dt
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integraltfrac12^1sin(x)x,dx =Si(1)-Sil(tfrac12r)

Passo 3

Para aproximar Si(1), usamos a expansão em série
Si(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+1(2n+1),(2n+1)!
Tomando termos até n=4 e x=1:
n =0: 1,
n =1: -tfrac13cdot3!=-0,0555556,
n =2: +tfrac15cdot5!=0,0016667,
n =3: -tfrac17cdot7!=-0,0000283,
n =4: +tfrac19cdot9!=0,000000306.
Somando,
Si(1)approx0,94608307

Passo 4

Para aproximar Si(tfrac12), usamos a mesma série com x=tfrac12:
n =0: 0,5,
n =1: -tfrac(0,5)^33cdot3!=-0,00694444,
n =2: +tfrac(0,5)^55cdot5!=0,00005208,
n =3: -tfrac(0,5)^77cdot7!=-0,00000022.
Somando,
Sil(tfrac12r)approx0,49310742

Passo 5

Agora fazemos a diferença e arredondamos a cinco casas decimais:
integraltfrac12^1sin(x)x,dx =Si(1)-Sil(tfrac12r) approx0,94608307-0,49310742=0,45297565
Arredondando a cinco casas decimais, obtemos 0,45298.

Resposta

0,45298

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