use a representação em série de potências para ln (1+x) para encontrar uma representação em série de potências para a função f(x)=ln (x).

Passo 1

O enunciado pede uma representação em série de potências para f(x)=ln(x), usando a série já conhecida de ln(1+u). O conteúdo envolvido é expansão em série de Taylor (ou de Maclaurin) e o que vamos precisar é a fórmula padrão
ln(1+u)=sumn=1^infty(-1)^n+1u^nn, -1<u<=1

Passo 2

Começamos recordando a série de potências para ln(1+u). Para -1<u<=1 vale
ln(1+u)=u-u^22+u^33-u^44+cdots =sumn=1^infty(-1)^n+1u^nn

Passo 3

Para escrever ln(x) em função de ln(1+u), fazemos a mudança de variável
u = x-1,
de modo que
ln(x)=lnl(1+(x-1)r)

Passo 4

Substituindo u=x-1 na série de ln(1+u) obtemos, para |x-1|<1,
ln(x) =sumn=1^infty(-1)^n+1(x-1)^nn =(x-1)-(x-1)^22+(x-1)^33-cdots

Resposta

boxed ln(x)=sumn=1^infty(-1)^n+1(x-1)^nn, com raio de convergência |x-1|<1 ê

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