Seja integralegral duplaD raizx sen(raizx y) d x d y, onde D é a região delimitada por y=0, x=pi / 2 e y=raizx.
Escreva a integral considerando as regiões do Tipo I e do Tipo II.

Passo 1

O enunciado pede para escrever a integral dupla
integral duplaDraizx,sinl(raizx,yr),dx,dy
onde D é a região do plano limitada por
y=0, x=pi2, y=raizx
Para escrever em ordens Tipo I e Tipo II precisamos descrever D como
  • Tipo I: (x,y)mid a<= x<= b,;g1(x)<= y<= g2(x),
  • Tipo II: (x,y)mid c<= y<= d,;h1(y)<= x<= h2(y).

Passo 2

Para a ordem Tipo I tomamos primeiro x entre o mínimo e o máximo de D. A curva y=raizx cruza y=0 em x=0, e a outra fronteira vertical é x=pi/2. Assim,
0 <= x <= pi2
Para cada x fixo, y varia de 0 até raizx:
0 <= y <= raizx
Logo a integral em Tipo I é
integral0^pi2 integral0^raizx raizx,sinl(raizx,yr),dy,dx

Passo 3

Para a ordem Tipo II tomamos primeiro y. A região D vai de y=0 até o ponto máximo em que y=raizx atinge x=pi/2, ou seja y=raizpi/2. Então
0 <= y <= raizpi2
Para cada y fixo, x varia da curva x=y^2 até x=pi/2:
y^2 <= x <= pi2
Logo a integral em Tipo II é
integral0^raizpi2 integraly^2^pi2 raizx,sinl(raizx,yr),dx,dy

Resposta

Integral em Tipo I:
integral0^pi2 integral0^raizx raizx,sinl(raizx,yr),dy,dx
Integral em Tipo II:
integral0^raizpi2 integraly^2^pi2 raizx,sinl(raizx,yr),dx,dy

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