Teste a série quanto a convergência ou divergência
sumn=1^infty n^2 3^n(-5)^n

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=1^infty n^2,3^n(-5)^n
e pede para testar se ela converge ou diverge.
O conteúdo envolvido é convergência de séries numéricas e vamos usar o teste da razão para verificar convergência absoluta.

Passo 2

Primeiro, simplificamos o termo geral. Definindo
an = n^2,3^n(-5)^n,
observamos que
3^n(-5)^n = l(-tfrac35r)^n
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an = n^2 l(-tfrac35r)^n

Passo 3

Aplicamos o teste da razão, isto é, calculamos
L = limntoinftyl|tfracan+1anr| = limntoinfty (n+1)^2,(3/5)^,n+1n^2,(3/5)^n = limntoinfty(n+1)^2n^2cdot35 = 1cdot35 = 35
Como L=tfrac35<1, o teste da razão garante convergência absoluta da série.

Passo 4

Toda série que converge absolutamente também converge (no sentido usual). Portanto, a série dada converge.

Resposta

A série
sumn=1^infty n^2,3^n(-5)^n
converge absolutamente e, consequentemente, converge.

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