Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de
, que é uma função que envolve uma fração onde o numerador e o denominador são expressões elevadas a potências. Para isso, vamos usar Cálculo Diferencial, especificamente as regras do quociente e da regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função:
Aqui, temos:
- Numerador:
- Denominador:
Passo 3
Para encontrar a derivada de uma função que é uma divisão de duas funções, usamos a Regra do Quociente. Se
, então:
Então, precisamos calcular
e
.
Passo 4
Vamos começar derivando o numerador
, onde
.
Usamos a Regra da Cadeia para derivar potências de funções:
Agora, calculamos
:
Então,
Passo 5
Agora, vamos derivar o denominador
, onde
.
Aplicando a Regra da Cadeia novamente:
Calculamos
:
Então,
Passo 6
Agora que temos
e
, vamos substituir na fórmula da Regra do Quociente:
Passo 7
Podemos simplificar essa expressão identificando fatores comuns no numerador e no denominador. Observamos que:
-
está presente no primeiro termo do numerador. -
está presente em ambos os termos do numerador.
Extraindo esses fatores comuns, temos:
Simplificando ainda mais, cancelamos
do numerador com o denominador:
Resposta
Portanto, a derivada de
é: