Calcule f'(x).
f(x) = ((x^8 + x^5 + x^3 + 1)^3) / ((x^2 + 7)^4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de , que é uma função que envolve uma fração onde o numerador e o denominador são expressões elevadas a potências. Para isso, vamos usar Cálculo Diferencial, especificamente as regras do quociente e da regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função:
Aqui, temos:
  • Numerador:
  • Denominador:

Passo 3

Para encontrar a derivada de uma função que é uma divisão de duas funções, usamos a Regra do Quociente. Se , então:
Então, precisamos calcular e .

Passo 4

Vamos começar derivando o numerador , onde .
Usamos a Regra da Cadeia para derivar potências de funções:
Agora, calculamos :
Então,

Passo 5

Agora, vamos derivar o denominador , onde .
Aplicando a Regra da Cadeia novamente:
Calculamos :
Então,

Passo 6

Agora que temos e , vamos substituir na fórmula da Regra do Quociente:

Passo 7

Podemos simplificar essa expressão identificando fatores comuns no numerador e no denominador. Observamos que:
  • está presente no primeiro termo do numerador.
  • está presente em ambos os termos do numerador.
Extraindo esses fatores comuns, temos:
Simplificando ainda mais, cancelamos do numerador com o denominador:

Resposta

Portanto, a derivada de é:

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