Determine se a sequência é convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema! A gente precisa descobrir se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também vai encontrar o limite. Para isso, vamos usar conceitos de análise de limites de sequências, especialmente para frações envolvendo polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que está acontecendo com essa sequência conforme
cresce. Olhando para a expressão
, percebemos que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios do segundo grau.
Passo 3
Quando temos uma fração com polinômios de mesmo grau no numerador e no denominador, o limite quando
tende ao infinito é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. No nosso caso, o termo de maior grau no numerador é
e no denominador é
.
Passo 4
Vamos calcular a razão desses coeficientes:
Aqui, conforme
fica muito grande, os termos constantes (como 3 e -1) se tornam insignificantes comparados aos termos com
.
Resposta
A sequência é convergente e o seu limite é
.